==ปรัชญาคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์นี้ถูกสร้างขึ้นโดยมนุษย์ หรือมีอยู่แล้วในธรรมชาติแล้วมนุษย์ไปค้นพบมัน?==

กระทู้คำถาม

ปรัชญาคณิตศาสตร์ (Philosophy of mathematics)

หลังจากครุ่นคิดดื่มด่ำกับการศึกษาวิชาฟิสิกส์ทฤษฎีอย่างจริงจัง ทำให้รู้ว่าฟิสิกส์ทฤษฎีนั้นเกี่ยวข้องกับวิชาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์อย่างลึกซึ้ง ทำให้เริ่มนำไปสู่พรมแดนแห่งใหม่ที่มีมนุษย์น้อยคนนักจะเข้าไปสำรวจถึงโลกของคณิตศาสตร์ มันทำให้ผมรู้ว่า

แคลคูลัส 1 , 2 ที่เรียนมามันคือแค่เบบี๋เทียบกับวิชา Analysis
ถ้าจะเทียบง่ายๆก็คือ แคลคุลัส 1 , 2 เหมือนการเรียน รด.
ส่วนการเรียนวิชา Analysis เหมือนการฝึกในหลักสูตรนักทำลายใต้น้ำจู่โจม

แม้เราจะทำโจทย์แคลได้ แต่เราก็จะไม่เข้าใจที่มา ทฤษฎีที่อยู่เบื้องหลัง เหตุผล การพิสูจน์ ที่มาที่ไป ที่อยู่เบื้องหลังการคำนวณทั้งหมด ถ้าไม่ศึกษาให้ลึกเข้าไป

คณิตศาสตร์ที่คนเข้าใจว่าคือการคำนวณ บวก ลบ คูณ หาร จริงๆแล้วเป็นดังแค่ภูเขาน้ำแข็งส่วนยอด ที่เราเห็นพ้นน้ำมาแค่นิดเดียว แต่ยังมีเนื้อหา ปริศนา เรื่องราวอีกมากซ่อนอยู่ใต้น้ำนั่น จริงๆแล้วนักคณิตศาสตร์จะหมดวันไปกับการพิสูจน์ทฤษฎี คิดทฤษฎีใหม่ๆ และอ่านงานวิจัยเก่าๆ มากกว่าคิดคำนวณบวกลบคูณหาร

คณิตศาสตร์นั้นยิ่งศึกษาลึกลงไปดังดำดิ่งลงไปในทะเลยิ่งพบเจอกับเรื่องอันน่าสนใจ และมันก็มีเนื้อหามากมาหลากหลายเหลือเกิน ดังรูป

นั้นการจะเข้าใจคณิตศาสตร์อย่างถูกต้องต้องมิใช่คำนวณได้ผลลัพธ์แต่คือการเข้าใจที่มาที่ไป เข้าใจทฤษฎี สามารถลองฝึกพิสูจน์ทฤษฎีด้วยตัวเองได้ เข้าใจรากฐาน Foundations of mathematics อย่างแท้จริง

สำหรับผู้ที่ศึกษาคณิตศาสตร์ในระดับมหาวิทยาลัยมาบ้างแล้ว พอมีพื้นฐาน ต้องการศึกษาคณิตศาสตร์ของจริงเป็นแบบ foundation approach ขอแนะนำโฟลชาทลำดับการอ่านเทกบุคคณิตศาสตร์อันนี้สำหรับผู้ที่สนใจ

หรือใครจะลองอีกแบบ เป็นแบบนี้ก็ได้เช่นกัน
ต้องการรูปใหญ่ไว้ดูให้ชัดเจน เข้าไปที่นี่ครับ
https://i.warosu.org/data/sci/img/0087/63/1490006104684.png

แต่ในคณิตศาสตร์ก็ยังมีอีก 1 สาขาที่น่าสนใจไม่แพ้กันคือ ปรัชญาคณิตศาสตร์ (Philosophy of mathematics)

ปรัชญาคณิตศาสตร์คือสาขาหนึ่งของปรัชญา โดยศึกษาถึงมูลฐานของคณิตศาสตร์ในมุมมองทางปรัชญา เพื่อให้เข้าใจธรรมชาติและระเบียบวิธีการของคณิตศาสตร์ และเข้าใจคณิตศาสตร์ที่ส่งผลกระทบต่อชีวิตความเป็นอยู่ของผู้คน

เพราะโครงสร้างทางธรรมชาติและตรรกะของคณิตศาสตร์นั้นเองทำให้ปรัชญาคณิตศาสตร์นี้กว้างขวางและมีเอกลักษณ์แตกต่างจากตัวปรัชญาสาขาอื่นๆ

เรียนวิชาฟิสิกส์แล้ว สงสัยไหมว่าทำไมคณิตศาสตร์มันช่างสัมพันธ์กับคณิตศาสตร์อย่างลึกซึ้ง ดวงจันทร์ที่โคจรอบโลกและโลกที่โคจรรอบดวงอาทิตย์ และดวงดาวต่างๆ หรือแม้แต่ผลแอปเปิล การเคลื่อนไหวที่ดูแตกต่างและซับซ้อน เรากลับสามารถนำสมการคณิตศาสตร์สั้นๆ มาอธิบายมันได้อย่างน่ามหัศจรรย์

ปรากฎการณ์ธรรมชาติต่างๆที่อยู่รอบตัวเรา สามารถนำมาเขียนเป็นความสัมพันธ์ของสมการที่ดูเรียบง่ายอย่างเหลือเชื่อ หรือการสร้างอุปกรณ์ต่างๆที่ต้องการความแม่นยำ คอมพิวเตอร์ที่เป็นดังสมองประมวลผลของสังคมมนุษย์สมัยใหม่ ที่ประมวลผลได้อย่างแม่นยำถูกต้องรวดเร็ว ก็ล้วนมาจากคณิตศาสตร์ทั้งสิ้น

จินตนาการไม่ออกเลยว่าถ้าเราขาดคณิตศาสตร์มาใช้ในฟิสิกส์และวงการคอมพิวเอตร์ มันจะเป็นไปได้อย่างไร?

ขาดเธอ(คณิตศาสตร์) ก็คือขาดใจ

มีคนนึงเขาก็สงสัยเรื่องนี้มากจนถึงกับต้องเขียนเปเปอร์มาเลย คือท่าน Eugene Wigner นักฟิสิกส์รางวัลโนเบลปั 1963 เขาได้ตีพิมพ์เปเปอร์ที่ชื่อว่า The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences ในปี 1960 ถ้าแปลเป็นไทยก็คงประมาณว่า ทำไมคณิตศาสตร์ถึงนำไปใช้ในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติได้อย่างดีสุดยอดแบบไม่น่าเชื่อเช่นนี้

สนใจไปตามอ่านได้ที่นี่ครับ
https://arxiv.org/pdf/1212.5854.pdf

Eugene Wigner

ในเปเปอร์เขาพูดถึงว่ามันมีความสัมพันธ์กันอย่างลึกซึ้งระหว่างคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ เขาสังเกตพบว่าโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีทางฟิสิกส์นั้น บ่อยครั้งที่มันชี้ไปสู่การพัฒนาที่ถูกต้องที่สูงขึ้นของทฤษฎีหรือแม้แต่เป็นคำทำนายที่ถูกต้องสอดคล้องตามการทดลองตามปรัชญาประจักษ์นิยม

โดยตอนหนึ่งเขาได้กล่าวว่า

"นับว่าเป็นปาฏิหาริย์...

...อย่างยิ่งที่ภาษาของคณิตศาสตร์ได้สามรถวางหลักเกณฑ์ของกฎของฟิสิกส์ได้อย่างถูกต้องดีเยี่ยม ซึ่งมันนับเป็นของขวัญที่เราไม่เข้าใจอีกทั้งไม่สมควรจะได้รับ เราควรยินดีกับมันและหวังว่ามันจะยังคงถูกต้องในอนาคตและมันจะช่วยขยาย ไม่ว่าจะดีหรือแย่ เพื่อความปรารถนาหรือแม้แต่ความสับสน ในการศึกษาสิ่งต่างๆที่กว้างขวางออกไป"

ในปรัชญาคณิตศาสตร์ยังมีเรื่องราวคำถามที่น่าสนใจอีกมาก เช่น

-อะไรคือแหล่งหรือธรรมชาติของความจริงทางคณิตศาสตร์?
-มีความสัมพันธ์กันอย่างไรระหว่างโลกทางนามธรรมของคณิตศาสตร์กับเอกภพจริงๆที่เป็นสสาร?
-บทบาทของมนุษย์ต่อการพัฒนาคณิตศาสตร์คืออะไร?
-ความสวยงามทางคณิตศาสตร์คืออะไร?
ฯลฯ

เราไม่อาจตอบคำถามได้ทั้งหมด แต่เราจะพูดถึงแนวคิดที่น่าสนใจในปรัชญาคณิตศาสตร์กัน เราจะเรียนรู้ทฤษฎีต่างๆ ผ่านคำถามที่ว่า

คณิตศาสตร์นี้ถูกสร้างขึ้นโดยมนุษย์ หรือมีอยู่แล้วในธรรมชาติแล้วมนุษย์ไปค้นพบมัน?

คำถามนี้ถามกันเป็นประจำ ในหว้ากอ ณ พันทิป เราก็จะพบเจอกระทู้ถามคำถามนี้มาเรื่อยๆ ในเว็บบอร์ดชื่อดังตปท ในเว็บ reddit.com เองก็มีคนถามคำถามนี้ประจำ เรียกว่าเป็น (FAQ) Frequently asked questions เลยก็ว่าได้ แต่ตัวคำถามนี้เองเราถามกันเป็นปรกติ แท้จริงแล้ว มีคนคิดทฤษฎีอธิบายคำถามนี้มาเป็นพันๆปี ตั้งแต่ยุคกรีกโบราณจนถึงปัจจุบัน มีศัพท์เฉพาะ ทฤษฎีที่มีชื่อเฉพาะ ไว้อธิบายหลากหลายเลยทีเดียว

มาพูดถึงฝั่งแรกกันก่อน

-------------

คณิตศาสตร์ถูกสร้างขึ้นโดยมนุษย์

ในมุมมองนี้มีหลายทฤษฎีเช่น

Intuitionism ขอแสดงความยินดีด้วย คณิตศาสตร์มาจากหัวของมนุษย์ เป็นสิ่งที่มนุษย์คิดขึ้นมา ปฎิเสธว่าเราไม่ได้ค้นพบคณิตศาสตร์ที่มีอยู่แล้วในธรรมชาติ แต่เราสร้างมันขึ้นมา

Formalism แนวคิดนี้บอกว่าคณิตศาสตร์ที่เห็นกันมากมายหลากหลายนั้น แท้จริงแล้วสร้าง ประกอบขึ้นจากส่วนย่อยๆที่เป็นประพจน์มากระทำการต่างๆกันโดยมีกฎต่างๆที่เป็นตรรกศาสตร์อย่างแน่นอนอยู่ โดยคนที่สนับสนุนแนวคิดนี้คือ David Hilbert โดยเขาพยายามจะทำคณิตศาสตร์ให้รัดกุมหนักแน่นสุดๆ โดยพยายามจะทำให้คณิตศาสตร์ทั้งหมดเป็นสัจพจน์ แต่ก็มีชายคนหนึ่งชื่อ Gödel คิดว่าความฝันของ Hilbert นั้นอาจจะไม่สามารถเป็นจริงได้ เพราะทฤษฎีของเขา นั่นคือ Gödel's incompleteness theorems

David Hilbert

Fictionalism คณิตศาสตร์เป็นเรื่องสมมติ ผู้สนับสนุนแนวคิดนี้คือ Hartry Field เขาบอกว่า 1+1=2 ก็มีความเป็นจริงเท่ากับ เชอลอคโฮมอาศัยอยู่ที่ถนนเบเกอร์ ถามว่า ทั้งสองอย่างนี้เป็นจริงไหมในโลกแห่งความจริงคำถอบคือไม่ แต่ในนิยายถามว่าเชอลอคโฮมอาศัยอยู่ที่ถนนเบเกอร์จริงไหม คำตอบคือจริง ถ้าเป็นในนวนิยาย เชอลอคโฮมในนวนิยายไม่ได้อาศัยอยู่ถนนสุขุมวิท Hartry Field เขาก็เชื่อว่า 1+1 = 2 นั้นก็เป็นจริงในโลกที่เราสมมติขึ้นมาเพื่อความสะดวกในการอธิบายระบบต่างๆที่ซับซ้อน แต่มันไม่ได้มีอยู่ในโลกจริงๆ Hartry Field พยายามจะไม่ใช้คณิตศาสตร์ในวิทยาศาสตร์ด้วย เขาเขียนหนังสือเรื่อง Science Without Numbers

เขาเชื่อว่าคณิตศาสตร์นั้นไม่จำเป็นเสียหน่อย เป็นนวนิยายที่สร้างขึ้นเพื่อความสะดวก คนเรียนฟิสิกส์และคณิตศาสตร์อาจฟังแล้วเจ็บจี๊ดดดดด

--------------

คณิตศาสตร์มีอยู่แล้วในธรรมชาติแล้วมนุษย์ไปค้นพบมัน

Platonism คือ ทรรศนะที่ถือว่า มีสภาพความจริงอีกอย่างหนึ่งที่ไม่ใช่วัตถุ เรียกว่า มโนภาพ(Idea) หรือแบบ(Form) ซึ่งโพลโตถือว่าเป็นจริงและสำคัญกว่าวัตถุ ในปรัชญาคณิตศาสตร์นี้เชื่อว่า คณิตศาสตร์นั้นมนุษย์ไม่ใช่ผู้สร้างมัน แต่เป็นแค่ผู้ค้นพบมัน มันมีอยู่แล้วในธรรมชาติ มีโลกอีกโลกหนึ่งซึ่งเป็นโลกของคณิตศาสตร์ ที่ดำรงอยู่ไม่ขึ้นกับเวลาและ space

แนวคิด Platonism ชื่อก็ตามตัวว่าเป็นแนวคิดของเพลโต นักปรัชญาชาวกรีกโบราณเมื่อประมาณสองพันปีที่แล้ว เขาได้รับอิทธิพลจากแนวคิดของท่านปีทาโกรัสอีกทอดหนึ่ง โดยนำมาอัพเดตใหม่นิดหน่อย ของปีทาโกรัสนั้น เราเรียกว่า แนวคิดแบบ Pythagoreanism ซึ่งเชื่อว่า ทุกอย่างคือตัวเลข ซึ่งทั้ง แนวคิด Platonism และ Pythagoreanism นี่เรียกรวมๆหมวดใหญ่ว่าเป็น Mathematicism ซึ่งถือว่า ทุกอย่างสามารถอธิบาย สร้างเป็นแบบจำลอง ได้ด้วยคณิตศาสตร์

-------------

แนวคิดทางเลือกแบบอื่น

บางคนก็คิดว่าคณิตศาสตร์นั้นไม่ได้ทั้งถูกสร้างหรือค้นพบ แต่คณิตศาสตร์คือสิ่งสกัดจากความเป็นไปได้นับไม่ถ้วน มีความเป็นไปได้มากมายมหาศาล แต่คณิตศาสตร์ที่เราเห็นคือเราเห็นแต่สิ่งที่เป็นรูปแบบหลักการ ยังมีความเป็นไปได้อีกมากมายไม่รู้จบ อธิบายยกตัวอย่างเช่น เพลงของนักแต่งเพลง มีอยู่แล้วในธรรมชาติหรือคนสร้างขึ้น ในธรรมชาติโนทดนตรีสามารถเรียงกันได้มากมายหลายรูปแบบ เพลงที่นักแต่งเพลงแต่งก็เป็นหนึ่งในความเป็นไปได้ของการเรียงโนทเพลง เราเห็นเพลงไพเราะเป็นจังหวะสวยงายเพราะเราเลือกฟังเพลง ยังมีการเรียงโนทอีกมากมายหลายรูปแบบที่ไม่เป็นเพลง จังหวะมั่วไปหมด คณิตศาสตร์ที่เราพบก็เป็นเช่นนี้แล

แต่บางคนเลือกอธิบายไปไกลกว่านั้นอีก คณิตศาสตร์ทั้งไม่ได้ถูกค้นพบหรือสร้างขึ้นโดยมนุษย์ แต่โลกนี้ และเอกภพนี้ทั้งหมดทุกสิ่งเลยทำมาจากคณิตศาสตร์ นั้นจึงไม่ต้องสงสัยว่าทำไมคณิตศาสตร์จึงอธิบายเอกภพนี้ได้ดีนัก นั่นก็เพราะ เอกภพนี้สร้างขึ้นมาจากคณิตศาสตร์อย่างไรกันเล่า แนวคิดนี้เรียกว่า Mathematical universe hypothesis

นำเสนอโดยนักฟิสิกส์จาก MIT ที่ชื่อท่าน Max Tegmark เขานำแนวคิดนี้มาเขียนเป็นหนังสือด้วย ชื่อ Our Mathematical Universe: My Quest for the Ultimate Nature of Reality ไปหาอ่านกันได้นะครับ

--------------------------

เขียนแล้วก็มึนหัวมากเลย ขอให้ทุกท่านมาช่วยกันแสดงความทีครับ ว่ามีความคิดเห็นกับเรื่องเหล่านี้อย่างไร ขอให้เป็นคำถามเปิดเพื่อ discussion กันต่อใน กท.ครับ

คณิตศาสตร์นี้ถูกสร้างขึ้นโดยมนุษย์ หรือมีอยู่แล้วในธรรมชาติแล้วมนุษย์ไปค้นพบมัน?

ก่อนจากไปขอฝากคำคมจากท่านไอนสไตน์