ผมสงสัยเกี่ยวกับเรื่อง homogeneous DE ครับ

ตามคอนเซปที่เรียนกันมามันง่ายนะ ทั้งคลิปติวของไทยและเทศ และที่เรียนในห้องเรียน ว่า v=y/x และ dy/dx= x dv/dx+v เสร็จแล้วจัดรูปแยกตัวแปลคนละฝั่งและอินทิเกรต แต่ทำไมพอทำโจทย์เข้าจริงๆ หลายๆข้อมันยากเหลือเกิน บางข้อนี่สาบานว่าทำไม่ต่ำกว่าสอง ชม ลองผิดลองถูก หาเฉลยจากที่ต่างๆเพื่อมาเปรียบเทียบ ทำเสร็จไม่ตรงเฉลยซะงั้น และไม่ใช่ใกล้เคียงด้วย แต่ผิดชนิดหน้าตาคนละเรื่องเลย บางทีมีเศษหรือส่วนหรือกำลังเกินมาจากไหนไม่รู้

เรื่อง algebra รับประกันว่ารอบคอบและถูกชัวร์ ตัวแปลก็แยกออกจากกันชัดเจน แต่มักจะเป็นข้อแตกต่างในการทำตรงกลางสเต็ปซึ่งยังไม่เข้าใจถ่องแท้ทำให้เป็นจุดเปลี่ยนของคำตอบ นับตั้งแต่เริ่มหารกระจายลดรูป ยกตัวอย่างเช่น 3xydx+(x²+y²)dy=0

พอทำจริงๆอย่างที่เรียนมาก็ตามนี้ครับ
3xydx = -(x²+y²)dy
3xy    =  -(x²+y²)dy/dx
3vx²   = -(x²+v²x²) xdv/dx+v
3vx²-v = -x²(1+v²) xdv/dx
v(3x²-1)  = -x²(1+v²) xdv/dx
-(3x²-1)dx/x³ = (1+v²)dv/v
(-3/x+1/x³)dx = (1/v+v)dv
∫-3/x dx + ∫1/x³dx = ∫1/v dv + ∫v dv
-3lnx - 1/2x² = lny/x + y²/2x² +C <----ยัด  y/x กลับคืนไป
-3lnx - lny/x = 1/2x² + y²/2x² +C
ln1/x²y = (y²+1)/2x² +C
y/x= ± sqrt(2x² ln1/x²y-1)
y= ±x sqrt(ln1/x⁴y²-1)

อย่างที่เห็นแหละครับ ว่าคำตอบออกมาหน้าตาทุเรสๆ และไม่ตรงกับชาวบ้านด้วย ข้อนี้หาเฉลยไม่มีนะครับ แต่คนส่วนใหญ่ได้คำตอบออกมาแบบอินทิเกรต partial fraction

พอลองวิธีใหม่จากสเต็ปที่สอง เอา x² ไปหารทุกพจน์จนได้ออกมาเป็น -(1+v³) xdv/dx+v จนสิ้นสุดอินทิเกรตก็ได้คำตอบหน้าออกมาอีกแบบ

มีเทคนิคของแท้ยังไงที่จะพิชิตเรื่องนี้ได้ชัวร์ครับ เพราะเวลาเรียนเห็นแต่ตัวอย่างง่ายๆหมูๆทั้งนั้น ซึ่งทำเองได้ แต่พอใช้เทคนิคเดียวกันกับโจทย์ยาวขึ้นกลับผิด เหมือนคำตอบแต่ละข้อไม่แน่ไม่นอนและมีวิธีการของมันแต่ละแบบ ปวดหัวมากครับ