ตอนผมเรียนมัธยม ไม่เคยรู้จักกับปริศนานี้เลย แต่เข้าใจว่าปัจจุบันมีสอนในโรงเรียนมัธยม
กติกาดัดแปลงจากวิกิพีเดีย
ผู้เล่นเกมโชว์มีประตูสามบานให้เลือก หลังประตูบานหนึ่งจะมีรถยนต์ ส่วนหลังประตูบานที่เหลือไม่มีรางวัล
ผู้เล่นเลือกประตูหนึ่งบาน (สมมติว่าบานที่ 1) เมื่อผู้เล่นเลือกแล้ว
พิธีกรซึ่งรู้ว่าหลังประตูแต่ละบานมีรางวัลหรือไม่
จะเปิดประตูอีกบานหนึ่งซึ่งไม่มีรางวัล (สมมติว่าบานที่ 3) หลังจากนั้น
พิธีกรจะให้โอกาสผู้เล่นในการเปลี่ยนไปเลือกประตูอีกบานหนึ่งที่ไม่ได้เลือกในตอนแรก (บานที่ 2)
คำถามคือ การเปลี่ยนไปเลือกประตูที่ไม่ได้เลือกตอนแรก จะทำให้มีความน่าจะเป็นในการได้รางวัลมากขึ้นหรือไม่
ที่ผมสนใจคือมีนักคณิตศาสตร์สาว มาริลิน วอส ซาวานท์ เขียนถึงปัญหานี้ในนิตยสาร Parade ในปี 1990
ว่าการเปลี่ยนประตูจะทำให้มีโอกาสถูกรางวัลมากขึ้น
ปรากฎว่านักสถิติใหญ่นับพันเขียนมาโจมตีเธอ แต่ผลสุดท้ายเธอถูก
ผมพยายามอ่านบทความจากวารสารกึ่งวิชาการ ซึ่งส่วนมากจะอธิบายโดยสถิติแบบเบย์ ซึ่งเข้าใจไม่ยาก
แต่วันรุ่งขึ้นก็ลืม ไม่เคยจำได้เลย
หลังจากผมคุยกับ ChatGPT ก็พบว่ามีวิธีที่เข้าใจง่ายมาก โดยใช้คณิตศาสตร์ระดับประถม ซึ่งเข้าใจง่ายและเคลียร์สุดๆ เช่น
ในกรณีสามประตูนี้ เมื่อผู้เล่นเลือกประตู (สมมุติ ประตู1)
ผู้เล่นมีโอกาสได้รถ 1/3 ในขณะที่โอกาสของประตู 2 และ 3 รวมกันคือ 2/3
จากนั้นเราเอารถเครนมายกประตู 2 และ 3 ออกไปตั้งไกลๆ จะได้ไม่งง
เมื่อพิธีกรเปิดประตู 3 แล้วพบว่าไม่มีรถนั้น
ความเป็นไปได้ของประตู 2 และ 3 ที่จะมีรถก็คือ 2/3 เท่าเดิม
และของประตู 1 ก็คือ 1/3 เท่าเดิม แต่เนื่องจากกลุ่ม 2 และ 3 เหลือประตูที่ปิดบานเดียว คือบาน 2
ดังนั้นโอกาสของบานที่ 2 คือ 2/3 นั่นคือถ้าย้ายไปเลือกประตู 2 มีโอกาสได้รถมากกว่า
คิดว่าชาวหว้ากอหลายท่านเข้าใจอยู่แล้ว
แต่มาดูวิธีคิดในกรณีที่มีประตูเจ็ดบานบ้าง
ในเกมส์โชว์ ประตู 7 บาน หลังประตูหนึ่งจะมีรถอยู่ ที่เหลือว่างเปล่า
เมื่อผู้เล่น เลือกประตูบานหนึ่ง สมมุติเป็นประตูที่ 1
พิธีกรจะเดินไปเปิดประตูที่ไม่ได้เลือกอีกสองบาน คือประตูที่ 6 และ 7 ซึ่งพิธีกรรู้ว่าว่างเปล่า
พิธีกรจะถามว่าผู้เล่นจะเปลี่ยนไปเลือกประตูที่ 2 3 4 5 หรือไม่ เผื่อจะได้รถ?
วิธีคำนวณง่ายมากๆ คือ
โอกาสได้รถเดิมคือของประตู 1 = 1/7
โอกาสได้รถของฝั่งที่ไม่ได้เลือก คือ 2 ถึง 7 = 6/7
ตอนนี้ฝั่งไม่ได้เลือก ประตูเปล่าถูกเปิดไปสองบาน คือเหลือ 4 บาน
ดังนั้นโอกาสที่แต่ละประตูที่เหลือจะมีรถ = 1/4 x 6/7 = 6/28 = 1.5/7
คือมากกว่าประตูหนึ่ง (1/7) ดังนั้นผู้เล่นควรขอเปลี่ยนไปเลือกประตูอื่น เช่น 4
จะมีโอกาสได้รถมากขึ้น แต่ไม่มากนัก (1.5เท่า)
แต่ถ้าพิธีกร เปิดประตูที่ 2 3 6 7 เหลือแค่ประตู 4 และ 5 สองประตู
โอกาสได้รถของฝั่งไม่ได้เลือกคือ 1/2*6/7 = 3/7
ถ้าเปลี่ยนประตูโอกาสได้รถสูงกว่ากรณีแรกและสูงกว่าไม่เปลี่ยน 3 เท่า
แต่ก็มีการศึกษาใน scientific american พบว่าผู้เล่นจะทำใจยากที่จะเปลี่ยน
โดยเฉพาะถ้าเล่นหลายครั้งแล้วมีการเปลี่ยนจากน่าจะได้รถไปได้ประตูเปล่า
เพราะคนรู้สึกว่าการเกือบได้แล้วเสียโอกาสไป เลวร้ายกว่าการที่ไม่ได้มาแต่แรก
ผมชอบปริศนามอนตี้ ฮอลล์มาก เข้าใจทุกครั้งที่อ่านคำอธิบาย แต่ไม่เคยจำได้ ตอนนี้พบวิธีที่ง่ายแล้ว คือแบบนี้
กติกาดัดแปลงจากวิกิพีเดีย
ผู้เล่นเกมโชว์มีประตูสามบานให้เลือก หลังประตูบานหนึ่งจะมีรถยนต์ ส่วนหลังประตูบานที่เหลือไม่มีรางวัล
ผู้เล่นเลือกประตูหนึ่งบาน (สมมติว่าบานที่ 1) เมื่อผู้เล่นเลือกแล้ว
พิธีกรซึ่งรู้ว่าหลังประตูแต่ละบานมีรางวัลหรือไม่
จะเปิดประตูอีกบานหนึ่งซึ่งไม่มีรางวัล (สมมติว่าบานที่ 3) หลังจากนั้น
พิธีกรจะให้โอกาสผู้เล่นในการเปลี่ยนไปเลือกประตูอีกบานหนึ่งที่ไม่ได้เลือกในตอนแรก (บานที่ 2)
คำถามคือ การเปลี่ยนไปเลือกประตูที่ไม่ได้เลือกตอนแรก จะทำให้มีความน่าจะเป็นในการได้รางวัลมากขึ้นหรือไม่
ที่ผมสนใจคือมีนักคณิตศาสตร์สาว มาริลิน วอส ซาวานท์ เขียนถึงปัญหานี้ในนิตยสาร Parade ในปี 1990
ว่าการเปลี่ยนประตูจะทำให้มีโอกาสถูกรางวัลมากขึ้น
ปรากฎว่านักสถิติใหญ่นับพันเขียนมาโจมตีเธอ แต่ผลสุดท้ายเธอถูก
ผมพยายามอ่านบทความจากวารสารกึ่งวิชาการ ซึ่งส่วนมากจะอธิบายโดยสถิติแบบเบย์ ซึ่งเข้าใจไม่ยาก
แต่วันรุ่งขึ้นก็ลืม ไม่เคยจำได้เลย
หลังจากผมคุยกับ ChatGPT ก็พบว่ามีวิธีที่เข้าใจง่ายมาก โดยใช้คณิตศาสตร์ระดับประถม ซึ่งเข้าใจง่ายและเคลียร์สุดๆ เช่น
ในกรณีสามประตูนี้ เมื่อผู้เล่นเลือกประตู (สมมุติ ประตู1)
ผู้เล่นมีโอกาสได้รถ 1/3 ในขณะที่โอกาสของประตู 2 และ 3 รวมกันคือ 2/3
จากนั้นเราเอารถเครนมายกประตู 2 และ 3 ออกไปตั้งไกลๆ จะได้ไม่งง
เมื่อพิธีกรเปิดประตู 3 แล้วพบว่าไม่มีรถนั้น
ความเป็นไปได้ของประตู 2 และ 3 ที่จะมีรถก็คือ 2/3 เท่าเดิม
และของประตู 1 ก็คือ 1/3 เท่าเดิม แต่เนื่องจากกลุ่ม 2 และ 3 เหลือประตูที่ปิดบานเดียว คือบาน 2
ดังนั้นโอกาสของบานที่ 2 คือ 2/3 นั่นคือถ้าย้ายไปเลือกประตู 2 มีโอกาสได้รถมากกว่า
คิดว่าชาวหว้ากอหลายท่านเข้าใจอยู่แล้ว
แต่มาดูวิธีคิดในกรณีที่มีประตูเจ็ดบานบ้าง
ในเกมส์โชว์ ประตู 7 บาน หลังประตูหนึ่งจะมีรถอยู่ ที่เหลือว่างเปล่า
เมื่อผู้เล่น เลือกประตูบานหนึ่ง สมมุติเป็นประตูที่ 1
พิธีกรจะเดินไปเปิดประตูที่ไม่ได้เลือกอีกสองบาน คือประตูที่ 6 และ 7 ซึ่งพิธีกรรู้ว่าว่างเปล่า
พิธีกรจะถามว่าผู้เล่นจะเปลี่ยนไปเลือกประตูที่ 2 3 4 5 หรือไม่ เผื่อจะได้รถ?
วิธีคำนวณง่ายมากๆ คือ
โอกาสได้รถเดิมคือของประตู 1 = 1/7
โอกาสได้รถของฝั่งที่ไม่ได้เลือก คือ 2 ถึง 7 = 6/7
ตอนนี้ฝั่งไม่ได้เลือก ประตูเปล่าถูกเปิดไปสองบาน คือเหลือ 4 บาน
ดังนั้นโอกาสที่แต่ละประตูที่เหลือจะมีรถ = 1/4 x 6/7 = 6/28 = 1.5/7
คือมากกว่าประตูหนึ่ง (1/7) ดังนั้นผู้เล่นควรขอเปลี่ยนไปเลือกประตูอื่น เช่น 4
จะมีโอกาสได้รถมากขึ้น แต่ไม่มากนัก (1.5เท่า)
แต่ถ้าพิธีกร เปิดประตูที่ 2 3 6 7 เหลือแค่ประตู 4 และ 5 สองประตู
โอกาสได้รถของฝั่งไม่ได้เลือกคือ 1/2*6/7 = 3/7
ถ้าเปลี่ยนประตูโอกาสได้รถสูงกว่ากรณีแรกและสูงกว่าไม่เปลี่ยน 3 เท่า
แต่ก็มีการศึกษาใน scientific american พบว่าผู้เล่นจะทำใจยากที่จะเปลี่ยน
โดยเฉพาะถ้าเล่นหลายครั้งแล้วมีการเปลี่ยนจากน่าจะได้รถไปได้ประตูเปล่า
เพราะคนรู้สึกว่าการเกือบได้แล้วเสียโอกาสไป เลวร้ายกว่าการที่ไม่ได้มาแต่แรก