สืบเนื่องมาจากผมสนใจปัญหา Polya Strike out มากครับ ก่อนอื่นผมก็จะเสนอปัญหานี้ให้ดูก่อนนะครับ
ปัญหา polya strike out
เขียนลำดับเลขขึ้นมา ดังนี้
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , ...
จากนั้น เอาตัวเลขทุกๆ ตำแหน่งที่สองออกไป ดังนี้
1 , 3 , 5 , 7 , 9 , ...
เขียนลำดับผลรวมของตัวเลขที่เหลือ ดังนี้
1 , 1+3 , 1+3+5 , 1+3+5+7 , 1+3+5+7+9
ปัญหาถามว่า จงแสดงว่าทำไมจึงเป็นเช่นนั้น
ก็คือ เราจะได้ลำดับ 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , ... นั่นเอง
ในกรณีนี้ผมได้แล้วว่า มันคือ (sum)2n-1 นั่นคือเป็นจำนวนสี่เหลี่ยม ได้เป็น n
2
แต่ผมสนใจกรณีนี้ครับ ซึ่งเป็นกรณีถัดไปของ polya strike out ครับ
มีอยู่ว่า
เขียนลำดับเลขขึ้นมา ดังนี้
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , ...
จากนั้น เอาตัวเลขทุกๆ ตำแหน่งที่สามออกไป ดังนี้
1 , 2 , 4 , 5 , 7 , 8 , 10 , ...
จากนั้นเขียนลำดับผลรวมเช่นเดิม
ได้ลำดับ
1 , 3 , 7 , 12 , 19 , 27 , 37 , ...
จากนั้น เอาเลขทุกๆ ตำแหน่งที่สองออก ดังนี้
1 , 7 , 19 , 37 , ...
เขียนลำดับผลรวมครับ
ได้เป็น
1 , 8 , 27 , 64 , ... ลำดับ n
3 !!!
ผมกำลังหาคำตอบอยู่ว่าทำไมได้เช่นนี้
วิธีการของผมเป็นแบบนี้ครับ
จากลำดับที่เอาออกทุกตัวที่สาม
1 , 2 , 4 , 5 , 7 , 8 , 10 , ...
ผมแยกลำดับนี้ออกเป็น 2 ลำดับครับ ให้เป็น a
n และ b
n ครับ
คือ
a
n = 1 , 4 , 7 , 10 , ...
b
n = 2 , 5 , 8 , 11 , ...
จากนั้น ลำดับผลบวกผมได้หน้าตาลำดับเป็นดังนี้ครับ (ผมเขียนเป็นรูปแบบทั่วไปเลยทีเดียว ถ้างงก็ขออภัยด้วยนะครับ)
จากลำดับผลบวก 1 , 3 , 7 , 12 , 19 , 27 , 37 , ... ให้เป็นลำดับ c
n
เขียนรูปทั่วไปได้ดังนี้
c
n = a
1 , a
+ b
1 , a
+ b
1 + a
2 , a
1 + b
1 + a
2 + b
2 , a
1 + b
1 + a
2 + b
2 + a
3 , a
1 + b
1 + a
2 + b
2 + a
3 + b
3 , ...
จากนั้น ผมก็ลองสังเกต เห็นว่า มีบางอย่างที่ผมอาจจะเปลี่ยนมันได้ ผมเห็นว่าทุกๆ สองพจน์มี a กับ b เท่ากัน(อธิบายแบบบ้านๆ นะครับ)
เลยเปลี่ยนมันเป็นลำดับใหม่ คือ A
n นั่นเอง
A
n = a
1 + b
1 , a
1 + b
1 + a
2 + b
2 , a
1 + b
1 + a
2 + b
2 + a
3 + b
3 , ...
ก็จะได้หน้าตา c
n ใหม่คือ
c
n = a
1 , A
1 , A
1 + a
2 , A
2 , A
2 + a
3 , A
3 , A
3 + a
4 , ...
จากนั้น ผมเอาทุกๆ สองพจน์ออกครับ ได้ลำดับ
d'
n = a
1 , A
1 + a
2 , A
2 + a
3 , A
3 + a
4 , ...
จากตรงนี้ ผมลองดูค่าของ A
n ครับ
จาก a
n = 1 , 4 , 7 , 10 , ... พจน์ทั่วไปคือ 3n - 2
จาก b
n = 2 , 5 , 8 , 11 , ... พจน์ทั่วไปคือ 3n - 1
ผมได้ลำดับ A
n คือ (
k=1sum
n)[(3n - 2)+(3n - 1)]
แต่ d'
n ยังไม่ใช่ลำดับผลรวมนะครับ ผมแค่ดูรูปแบบก่อนเฉยๆ
จากนั้น ผมเขียนลำดับผลรวมของ d'
n ให้เป็น d
n ครับ จะได้ว่า
d
n = a
1 , a
1 + A
1 + a
2 , a
1 + A
1 + a
2 + A
2 + a
3 , a
1 + A
1 + a
2 + A
2 + a
3 + A
3 + a
4 , ...
ขอแสดงความเสียใจแก่ตนเองครับ ผมติดตรงนี้ครับ 555 เพราะผมคิดต่อ ได้ (
k=1sum
n)[(
k=1sum
n)[(3n - 2)+(3n - 1)]] + (
k=1sum
n)[a
n] ซึ่งทำผมมึนตึ๊บเลยทีเดียว
ผมเลยอยากจะปรีกษาคนในห้องนี้ดูหน่อยครับว่าผมควรทำยังไงต่อไป หรือต้องแก้ตรงไหนบ้าง ขอบคุณล่วงหน้านะครับ
Edit ตัวเลขและต่างๆ นาๆ มากมายครับ เนื่องจากเลขเยอะมากเลยตาลายพอควรครับ 555
ขอความช่วยเหลือเกี่ยวกับ Polya strike out หน่อยครับ
ปัญหา polya strike out
เขียนลำดับเลขขึ้นมา ดังนี้
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , ...
จากนั้น เอาตัวเลขทุกๆ ตำแหน่งที่สองออกไป ดังนี้
1 , 3 , 5 , 7 , 9 , ...
เขียนลำดับผลรวมของตัวเลขที่เหลือ ดังนี้
1 , 1+3 , 1+3+5 , 1+3+5+7 , 1+3+5+7+9
ปัญหาถามว่า จงแสดงว่าทำไมจึงเป็นเช่นนั้น
ก็คือ เราจะได้ลำดับ 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , ... นั่นเอง
ในกรณีนี้ผมได้แล้วว่า มันคือ (sum)2n-1 นั่นคือเป็นจำนวนสี่เหลี่ยม ได้เป็น n2
แต่ผมสนใจกรณีนี้ครับ ซึ่งเป็นกรณีถัดไปของ polya strike out ครับ
มีอยู่ว่า
เขียนลำดับเลขขึ้นมา ดังนี้
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , ...
จากนั้น เอาตัวเลขทุกๆ ตำแหน่งที่สามออกไป ดังนี้
1 , 2 , 4 , 5 , 7 , 8 , 10 , ...
จากนั้นเขียนลำดับผลรวมเช่นเดิม
ได้ลำดับ
1 , 3 , 7 , 12 , 19 , 27 , 37 , ...
จากนั้น เอาเลขทุกๆ ตำแหน่งที่สองออก ดังนี้
1 , 7 , 19 , 37 , ...
เขียนลำดับผลรวมครับ
ได้เป็น
1 , 8 , 27 , 64 , ... ลำดับ n3 !!!
ผมกำลังหาคำตอบอยู่ว่าทำไมได้เช่นนี้
วิธีการของผมเป็นแบบนี้ครับ
จากลำดับที่เอาออกทุกตัวที่สาม
1 , 2 , 4 , 5 , 7 , 8 , 10 , ...
ผมแยกลำดับนี้ออกเป็น 2 ลำดับครับ ให้เป็น an และ bn ครับ
คือ
an = 1 , 4 , 7 , 10 , ...
bn = 2 , 5 , 8 , 11 , ...
จากนั้น ลำดับผลบวกผมได้หน้าตาลำดับเป็นดังนี้ครับ (ผมเขียนเป็นรูปแบบทั่วไปเลยทีเดียว ถ้างงก็ขออภัยด้วยนะครับ)
จากลำดับผลบวก 1 , 3 , 7 , 12 , 19 , 27 , 37 , ... ให้เป็นลำดับ cn
เขียนรูปทั่วไปได้ดังนี้
cn = a1 , a + b1 , a + b1 + a2 , a1 + b1 + a2 + b2 , a1 + b1 + a2 + b2 + a3 , a1 + b1 + a2 + b2 + a3 + b3 , ...
จากนั้น ผมก็ลองสังเกต เห็นว่า มีบางอย่างที่ผมอาจจะเปลี่ยนมันได้ ผมเห็นว่าทุกๆ สองพจน์มี a กับ b เท่ากัน(อธิบายแบบบ้านๆ นะครับ)
เลยเปลี่ยนมันเป็นลำดับใหม่ คือ An นั่นเอง
An = a1 + b1 , a1 + b1 + a2 + b2 , a1 + b1 + a2 + b2 + a3 + b3 , ...
ก็จะได้หน้าตา cn ใหม่คือ
cn = a1 , A1 , A1 + a2 , A2 , A2 + a3 , A3 , A3 + a4 , ...
จากนั้น ผมเอาทุกๆ สองพจน์ออกครับ ได้ลำดับ
d'n = a1 , A1 + a2 , A2 + a3 , A3 + a4 , ...
จากตรงนี้ ผมลองดูค่าของ An ครับ
จาก an = 1 , 4 , 7 , 10 , ... พจน์ทั่วไปคือ 3n - 2
จาก bn = 2 , 5 , 8 , 11 , ... พจน์ทั่วไปคือ 3n - 1
ผมได้ลำดับ An คือ (k=1sum n)[(3n - 2)+(3n - 1)]
แต่ d'n ยังไม่ใช่ลำดับผลรวมนะครับ ผมแค่ดูรูปแบบก่อนเฉยๆ
จากนั้น ผมเขียนลำดับผลรวมของ d'n ให้เป็น dn ครับ จะได้ว่า
dn = a1 , a1 + A1 + a2 , a1 + A1 + a2 + A2 + a3 , a1 + A1 + a2 + A2 + a3 + A3 + a4 , ...
ขอแสดงความเสียใจแก่ตนเองครับ ผมติดตรงนี้ครับ 555 เพราะผมคิดต่อ ได้ (k=1sumn)[(k=1sumn)[(3n - 2)+(3n - 1)]] + (k=1sumn)[an] ซึ่งทำผมมึนตึ๊บเลยทีเดียว
ผมเลยอยากจะปรีกษาคนในห้องนี้ดูหน่อยครับว่าผมควรทำยังไงต่อไป หรือต้องแก้ตรงไหนบ้าง ขอบคุณล่วงหน้านะครับ
Edit ตัวเลขและต่างๆ นาๆ มากมายครับ เนื่องจากเลขเยอะมากเลยตาลายพอควรครับ 555