สืบเนื่องจากกระทู้นี้
https://ppantip.com/topic/36829508
ผมได้ถามปัญหา polya strike out ไป แล้วมีคนมาตอบกันอย่างล้นหลาม (ฮา)
ครั้งนี้ผมก็คิดออกแล้วครับ แล้วจะมาแสดงวิธีการให้ดูครับ
ก่อนอื่นขอพูดถึง Polya strike out ก่อนนะครับ
ปล. sum ในที่นี้ เหมือนกัน sigma นะครับ แต่ในนี้พิมพ์ sigma ไม่ได้เลยใช้ sum แทนครับ
.
.
.
ปัญหา Polya Strike out
level 1)
กำหนดลำดับของจำนวนนับ
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , ...
นำทุกๆ ลำดับที่สองออกไป
1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , ...
เขียนผลรวมของลำดับที่เหลือ
1 , 1+3 , 1+3+5 , 1+3+5+7 , 1+3+5+7+9 , ...
ได้ลำดับ 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , ... คือลำดับ 1² , 2² , 3² , 4² , 5² , ...
จงอธิบายว่า เพราะเหตุใด
solution เพราะปัญหาเลเวล 1 ไม่ยากเท่าไหร่ครับ เลยตอบได้โดยใช้เวลาไม่นานนัก
จากลำดับผลรวม ได้ว่า เป็น sum(2k - 1) หรือก็คือผลบวกของเลขคี่ ทำให้ได้ทันทีว่า ผลลัพธ์จะต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์ครับ นั่นคือ _k=1sumⁿ(2k-1) = n² นั่นเองครับ
____________________________________________________________
Polya strike out
Level 2)
กำหนดลำดับของจำนวนนับ
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , ...
นำทุกๆ ลำดับที่สามออกไป
1 , 2 , 4 , 5 , 7 , 8 , 10 , 11 , 13 , ...
เขียนลำดับผลรวม
1 , 3 , 7 , 12 , 19 , 27 , 37 , 48 , 62 , ...
จากนั้น นำทุกๆ ลำดับที่สองออกไป
1 , 7 , 19 , 37 , 62 , ...
เขียนลำดับผลรวม ได้
1 , 8 , 27 , 64 , 125 , ... คือลำดับ 1³ , 2³ , 3³ , 4³ , 5³ , ...
จงอธิบายว่าเพราะเหตุใด
solution
พิจารณาลำดับ
1 , 2 , 4 , 5 , 7 , 8 , 10 , 11 , 13 , ...
แยกเป็นสองลำดับ ได้ว่า
a_n = 1 , 4 , 7 , 10 , ...
b_n = 2 , 5 , 8 , 11 , ...
พิจารณา ลำดับผลรวม
1 , 3 , 7 , 12 , 19 , 27 , 37 , 48 , 62 , ...
ได้
1 , 1+2 , 1+2+4 , 1+2+4+5 , 1+2+4+5+7 , ...
พิจารณาลำดับจากการตัดออกทุกๆ สองพจน์ ก็จะได้ว่าลำดับ 1 , 7 , 19 , 37 , 62 , ... เขียนได้เป็น
1 , 1+2+4 , 1+2+4+5+7 , 1+2+4+5+7+8+11 , 1+2+4+5+7+8+11+13+14 , ...
สังเกตได้ว่า มีรูปแบบจาก a_n และ b_n ซ่อนอยู่ นั่นคือ
a₁ , a₁ + b₁ + a₂ , a₁ + b₁ + a₂ + b₂ + a₃ , ...
ได้รูปแบบทั่วไปดังนี้
_k=1sumⁿ(3k-2) + _k=1sum^n-1(3k-1)
เปลี่ยนรูปเล็กน้อย
_k=1sumⁿ(3k-2) + _k=1sumⁿ(3k-1) - (3n-1)
รวม summation เข้าด้วยกัน
_k=1sumⁿ(3k-2 + 3k-1) - (3n-1) = _k=1sumⁿ(6k-3) - (3n-1)
= 6(n(n+1)/2) - 3n  - 3n + 1 = 3n² - 3n + 1
พิจารณาลำดับผลรวมสุดท้าย 1 , 8 , 27 , 64 , 125 , ... คือการนำลำดับข้างต้นมาบวกกันไปทีละพจน์ ทุกๆ พจน์ เช่นเดียวกับกรณี level 1)
ได้ว่า ลำดับนี้คือ
_k=1sumⁿ(3k² - 3k + 1) = 3(n(n+1)(2n+1)/6) - 3(n(n+1)/2) + n
_k=1sumⁿ(3k² - 3k + 1) = (n(n+1)(2n+1))/2 - 3(n(n+1))/2 + n
2(_k=1sumⁿ(3k² - 3k + 1)) = (n(n+1)(2n+1)) - 3(n(n+1)) + 2n
2(_k=1sumⁿ(3k² - 3k + 1)) = 2n³ + 3n² + n -3n² -3n + 2n
2(_k=1sumⁿ(3k² - 3k + 1)) = 2n³
ดังนั้น
_k=1sumⁿ(3k² - 3k + 1) = n³
Q.E.D.
.
.
.
ขอบคณที่อ่านจนจบนะครับ ใครมีข้อสงสัยหรือจุดผิดพลาดตรงไหนผมยินดีรับไว้พิจารณาครับ