บทนิยาม   ให้  P(x) = A_nXⁿ + ... + A₁X + A₀  เป็นพหุนามกำลัง n >=  1 เหนือ F

และ เรียก พหุนาม  P(x) = nA_nX^(n-1) +(n-1)A_n-1X^(n-2) + ... + A₁  ว่า อนุพันธ์ ของ P(x)

จงพิสูจน์ สมบัติของอนุพันธ์ โดยใช้ บทนิยามของพหุนามนี้

1. ให้ P(x) และ Q(x) เป็นพหุนาม และ  k  เป็นจำนวนคงค่า  

    1.1 จงพิสูจน์ว่า  (P+Q)'(x) = P'(x) + Q'(x)

    1.2  จงพิสูจน์ว่า  (kP)'(x) = kP'(x)

    1.3  จงพิสูจน์ว่า  (PQ)'(x) = P'(x)Q(x) + P(x)Q'(x)

2. ให้ P(x) เป็นพหุนามที่ไม่ใช่พหุนามศูนย์และ C เป็นสมาชิกของ  F  จงพิสูจน์ว่ามีจำนวนเต็ม  0 <= r <= deg P(x)  และ พหุนาม Q(x) ไม่เท่ากับ 0  ซึ่ง  P(x) = (x-c)'Q(x)

3.  ให้ P(x) เป็นพหุนาม และ C เป็นสมาชิกของ F เป็นรากของ P(x) จงพิสูจน์ว่า C  เป็นรากซ้ำของ P(x) ก็ต่อเมื่อ  C  เป็นรากของ  P'(x)