อนุกรมเทย์เลอร์ พ่อทุกสถาบัน (Taylor's Series)

กระทู้สนทนา

สมการ (คณิตศาสตร์) ฟิสิกส์ คณิตศาสตร์ บทความ

[h1]Taylor's Series คืออะไร[/h1]
Taylor’s Series (อนุกรมเทย์เลอร์) เป็นวิธีแสดงฟังก์ชันที่สามารถดิฟเฟอเรนเชียลได้ในรูปของอนุกรมกำลัง (power series) ใช้สำหรับประมาณค่าฟังก์ชันที่ซับซ้อนด้วยพหุนามที่ง่ายกว่า โดยหลักการคือการแสดงฟังก์ชันใดๆ ในรูปของผลรวมอนันต์ของพจน์ที่ได้จากอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นที่จุดๆ หนึ่ง

[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5002f7426b46ea05e564c7c3d3abbf0957067bba[/img]

เมื่อ:
fⁿ(a) คือ อนุพันธ์อันดับ n ของ f(x) ที่จุด a
n! คือ แฟกทอเรียลของ n

อนุกรมแมคลอริน
อนุกรมแมคลอริน (Maclaurin Series) เป็นกรณีพิเศษของอนุกรมเทย์เลอร์ เมื่อจุด a = 0

อนุกรมเทย์เลอร์มีการนำไปใช้ในหลากหลายสาขา เช่น:

-การประมาณค่าฟังก์ชัน: ใช้ประมาณค่าฟังก์ชันที่คำนวณได้ยาก เช่น ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันลอการิทึม หรือฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
-การแก้สมการเชิงอนุพันธ์: ใช้หาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์
-การวิเคราะห์ทางฟิสิกส์: ใช้ในการวิเคราะห์การเคลื่อนที่ของวัตถุ การสั่นสะเทือน หรือการแพร่กระจายของคลื่น
-การวิเคราะห์ทางวิศวกรรม: ใช้ในการออกแบบวงจรไฟฟ้า การวิเคราะห์ระบบควบคุม หรือการจำลองการไหลของของเหลว

*ข้อควรระวัง*
อนุกรมเทย์เลอร์อาจลู่เข้าหรือลู่ออก ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันและช่วงของค่า x
การประมาณค่าด้วยอนุกรมเทย์เลอร์จะมีค่าผิดพลาด ซึ่งค่าผิดพลาดจะลดลงเมื่อเพิ่มจำนวนพจน์ในอนุกรม

ตัวอย่าง

[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/158a0ae14d1c9e0d1dc21c268f7e2169b9066dc7[/img]
ข้อจำกัดในการใช้

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ:
แม้ว่า sin(x) และ cos(x) จะมีอนุพันธ์ทุกอันดับ แต่การประมาณค่าด้วยอนุกรมเทย์เลอร์อาจไม่แม่นยำเมื่อค่า x มีขนาดใหญ่
ฟังก์ชัน tan(x) มีจุดที่ไม่ต่อเนื่อง (discontinuities) ทำให้ไม่สามารถสร้างอนุกรมเทย์เลอร์รอบจุดเหล่านั้นได้

ฟังก์ชันรากที่สอง (√x):
ฟังก์ชัน √x มีอนุพันธ์ที่ x=0 ไม่นิยาม ดังนั้น จึงไม่สามารถสร้างอนุกรมเทย์เลอร์รอบ x=0 ได้
การประมาณค่าด้วยอนุกรมเทย์เลอร์จะแม่นยำในช่วงที่ x มีค่าใกล้เคียงกับจุดที่ใช้ในการสร้างอนุกรม

ฟังก์ชันที่มีจุดไม่ต่อเนื่อง:
ฟังก์ชันที่มีจุดไม่ต่อเนื่อง (discontinuous functions) หรือจุดที่อนุพันธ์ไม่นิยาม จะไม่สามารถใช้อนุกรมเทย์เลอร์ได้
ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันขั้นบันได (step functions) หรือฟังก์ชันที่มีค่ากระโดด (jump discontinuities)

ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ซับซ้อน:
ฟังก์ชันบางตัวมีอนุพันธ์ที่ซับซ้อนมาก ทำให้การคำนวณอนุกรมเทย์เลอร์เป็นไปได้ยาก
ในกรณีเช่นนี้ การประมาณค่าด้วยอนุกรมเทย์เลอร์อาจไม่คุ้มค่า หรืออาจต้องใช้วิธีการประมาณค่าแบบอื่นแทน

ข้อจำกัดเพิ่มเติม

การลู่เข้า: อนุกรมเทย์เลอร์อาจลู่เข้าเฉพาะในช่วงค่า x ที่จำกัด ซึ่งเรียกว่า "ช่วงของการลู่เข้า" (interval of convergence) นอกช่วงนี้ อนุกรมอาจลู่ออก ซึ่งทำให้การประมาณค่าไม่ถูกต้อง

ความแม่นยำ: จำนวนพจน์ที่ใช้ในอนุกรมเทย์เลอร์มีผลต่อความแม่นยำของการประมาณค่า การเพิ่มจำนวนพจน์มักจะเพิ่มความแม่นยำ แต่ก็เพิ่มความซับซ้อนในการคำนวณด้วยเช่นกัน

โดเมนของ ln(x):

ฟังก์ชัน ln(x) มีโดเมนเป็น (0, ∞) นั่นคือ ค่า x ต้องเป็นบวกเท่านั้น
ดังนั้น อนุกรมเทย์เลอร์ของ ln(x) จะใช้ได้เฉพาะในช่วงที่ x เป็นบวกเท่านั้น

อนุกรมเทย์เลอร์รอบ x=1:
โดยทั่วไป อนุกรมเทย์เลอร์ของ ln(x) จะถูกสร้างขึ้นรอบจุด x=1 เนื่องจาก ln(1)=0 ทำให้การคำนวณง่ายขึ้น
อนุกรมเทย์เลอร์ของ ln(x) รอบ x=1 คือ:

ln(x) = (x-1) - (x-1)²/2 + (x-1)³/3 - (x-1)⁴/4 + ...
อนุกรมนี้จะลู่เข้าในช่วง (0, 2] ซึ่งหมายความว่ามันจะให้ค่าประมาณที่ถูกต้องเฉพาะเมื่อ x อยู่ในช่วงนี้เท่านั้น
ปัญหาที่ x=0:

ln(0) ไม่นิยาม และอนุพันธ์ของ ln(x) ที่ x=0 ก็ไม่นิยามเช่นกัน
ดังนั้น จึงไม่สามารถสร้างอนุกรมเทย์เลอร์ของ ln(x) รอบ x=0 ได้

[img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/27/Logarithm_GIF.gif/310px-Logarithm_GIF.gif[/img]
ln(x) จึงมีหลาย series