โจทย์ รูปสี่เหลี่ยม ABCD มี มุมABC = 120° และ มุมCDA = 60° เส้นทแยงมุม AC ตัดกับ เส้นทแยงมุม BD ที่จุด P ถ้า AP/PC = 2  แล้ว DP/PBจะมีค่าสูงสุดเป็นเท่าใด
นี่เฉลยครับ
หลักการ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลมที่มี BD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และจะพิสูจน์ว่า BD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง จึงจะทำให้ DP/PB มีค่าสูงสุด
จาก สี่เหลี่ยมจะสามารถแนบในวงกลม ก็ต่อเมื่อ ผลรวม เท่ากับ 180°
และ สี่เหลี่ยม ABCD มี มุมABC = 120° และ มุมCDA = 60°
แสดงว่า สี่เหลี่ยม ABCD แนบในวงกลมที่มี O เป็นจุดศูนย์กลาง และมีรัศมี r ดังรูป
OQตั้งฉากACที่จุดQ
โจทย์APC AP/PC =2 = 2:1
จึงให้วัด AP = 2, PC = 1 AQ = AC= (2+1)/2 = 1.5  
OQ/OC = sin60°  
(1.5/r)=((รูท3)/ 2)
r = (รูท3)
OQ/r = cos60°
OQ/(รูท3) = 1/2
OQ =(รูท3)/2
OP =รูท(OQ^2+ OP^2)
=รูท(OQ^2+((QC-PC)^2))
=รูท((รูท3/2)^2+(0.5^2))  
= 1
ค่าสูงสุด DP/PB =(r+OP)/(r-OP)
=(รูท3+1)/(รูท3-1)
=2+(รูท3)
ที่มาว่า BD ต้องเป็นเส้นศูนย์กลาง
ให้Q(x,y)เป็นจุดบนวงกลมที่มีสมการ x^2+ y^2= r^2 แล้ว P(a,0)อยู่ในกราฟเดียวกัน a เป็นจำนวนเต็มบวก
PQ =รูท((x - a)^2+ y^2) = รูท(x^2+y^2 - 2ax + a^2) = รูท(r^2 - 2ax + a^2)
แสดงว่า เมื่อ x = r ค่าต่ำสุดของ PQ = r-a
x = -r ค่าสูงสุดของ PQ = r + a
ดังนั้น BD ต้องเป็นจึงจะทำให้ DP/PB มีค่าสูงสุดเท่าพอดี
คือผมไม่เข้าใจว่า a  มาจากไหน และ ตั้งแต่ประโยคว่า "ที่มาว่า BD ต้องเป็นเส้นศูนย์กลาง"แล้วใช้ความรู้เกินม.ต้นไหม