ทำแบบตรีโกณ ก็ได้ แต่ยากกว่า เรขาฯ มาก

ใช้ความรู้
Law of sines
sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB
และพหุนาม

ดูรูปของ คห 4
ลาก AC
ให้ PA = k, PB = 2k, PC = 3k
และให้ sinABP = x --> cosABP = sqrt(1 - x²)             [1]

สามเหลี่ยม APB
PA/sinABP = PB/sinBAP
sinBAP = 2*sinABP
sinBAP = 2x                                         [2]
-->
cosBAP = sqrt(1 - 4x²)          [3]  

สามเหลี่ยม BPC
PC/sinCBP = PB/sinBCP
sinBCP = (2/3)*sinCBP
แต่ sinCBP = cosABP เพราะ CBP + ABP = 90 degrees
sinBCP = (2/3)*sqrt(1 - x²)       [4]
และจัดรูปอีกเล็กน้อย จะได้
cosBCP = (1/3)*sqrt(5 + 4x²)    [5]

สามเหลี่ยม APC
PA/sinACP = PC/sinCAP
sinCAP = 3*sinACP
sin(45 - BAP) = 3*sin(45 - BCP)
sin45*cosBAP - cos45*sinBAP = 3*(sin45*cosBCP - cos45*sinBCP)
แต่ sin45⁰ = cos45⁰
-->
cosBAP - sinBAP = 3*(cosBCP - sinBCP)
แทนค่าจาก [2], [3], [4], [5]
sqrt(1 - 4x²) - 2x = (1/3)*sqrt(5 + 4x²) - (2/3)*sqrt(1 - x²)
ยกกำลังสอง ทั้ง 2 ข้าง จะพบว่ามีการกำจัดพหุนามได้บางเทอม
จัดรูปจะได้
2 + x*sqrt(1 - 4x²) = sqrt(5 - x² - 4x⁴)
ยกกำลังสองทั้ง 2 ข้าง แล้วจัดรูปต่อได้
2x² - 1 = 4x*sqrt(1 - 4x²)
ยกกำลังสองทั้ง 2 ข้าง แล้วจัดรูปต่อได้

68x⁴ - 20x² + 1 = 0             *** [6] ***

จากตรงนี้ ก็หา x² ได้
แต่จะหาค่า x แล้วไปแทนค่าใน
sin(APB) = sin(180 - ABP - BAP) = sin(ABP + BAP) = sinABPcosBAP + cosABPsinBAP
พบว่าทำได้ยากมาก

และโจทย์ไม่ต้องการหาค่า x แต่ต้องการหาค่ามุม APB

ดังนั้น ให้ sinAPB = y
y = sinABPcosBAP + cosABPsinBAP
จาก [1], [2], [3]
y = x*sqrt(1 - 4x²) + sqrt(1 - x²)*2x
y -  sqrt(1 - x²)*2x = x*sqrt(1 - 4x²)
ยกกำลังสองทั้ง 2 ข้าง แล้วจัดรูปต่อ ทำซ้ำประมาณ 2 ครั้ง จะได้

(9 + 16y²)*x⁴ - 10*y²*x² + y⁴ = 0    

คูณ m ซึ่งเป็นค่าคงที่ใด ๆ จะได้

m*(9 + 16y²)*x⁴ - m*10*y²*x² + m*y⁴ = 0        *** [7] ***

สมการ [6] และ [7] พหุนามของ x เดียวกัน ซึ่งจะเท่ากันได้ ก็เมื่อสัมประสิทธิ์ของทุกพหุนามเท่ากัน
ดังนั้น
m*(9 + 16y²) = 68
-m*10*y² = -20
m*y⁴ = 1

แก้สมการ ได้ m = 4, y² = 1/2

--> y = sqrt(1/2)
sin(APB) = sqrt(1/2)
ดังนั้นมุม APB = 45 หรือ 135 องศา แต่ 45 องศาเป็นไปไม่ได้ (จากรูป)

ตอบ มุม APB = 135 องศา

เฮ้อ เหนื่อย


GeometryIsFun