นิยามดังนี้
การค้นพบ (Discovery) เป็นการเข้าใจองค์ความรู้ที่มีอยู่แล้วในธรรมชาติ
การประดิษฐ์ (Invented) เป็นการสร้างองค์ความรู้ขึ้นมา โดยไม่ได้มีอยู่ก่อนแล้วในธรรมชาติ

คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์ที่อยู่ในกลุ่ม Rationalism เน้นการให้เหตุผลทางตรรกะมาสร้างองค์ความรู้
ตัวคณิตศาสตร์จะมีฐานเป็น Axiom ที่ตั้งว่าให้เป็นจริง
จากนั้นก็ใช้เหตุผลทางตรรกะสร้างองค์ความรู้ขึ้นมาบนพื้นฐานนั้น(derived)
ดังนั้นคณิตศาสตร์จึงเป็นinventครับ


เข้ามาเสริมให้เห็นภาพ
การสร้างองค์ความรู้ทางคณิตศาสตร์มักจะเป็นแบบนี้
กำหนดให้ Axiom A เป็นจริง Axiom B เป็นจริง
แล้ว ให้เหตุผล1(ตรรกะ) ให้เหตุผล2(ตรรกะ) ให้เหตุผล3(ตรรกะ)
ดังนั้นจึงพิสูจน์ได้ว่า Xจริง
จากนั้นอาจจะมีคนทำต่อเป็น
จากที่พิสูจน์ได้ว่า X จริง และกำหนดให้ Axiom C เป็นจริง
แล้ว ให้เหตุผล1(ตรรกะ) ให้เหตุผล2(ตรรกะ) ให้เหตุผล3(ตรรกะ)
ดังนั้นจึงพิสูจน์ได้ว่า Y จริง
จะเห็นว่าคณิตศาสตร์ไม่จำเป็นต้องไปหาหลักฐานในโลกความเป็นจริง(Real World)มาสนับสนุนองค์ความรู้
(ไม่ต้องไปนั่งนับ ก้อนหิน ว่า หิน1ลูก รวมกับอีกลูก แล้วจะได้เป็นหิน 2 ลูก)
เพียงให้ เหตุผลที่สมเหตุสมผล ก็เพียงพอแล้ว ดังนั้นคณิตศาสตร์จึงอยู่ในกลุ่ม Rationalism นั้นเอง
ซึ่งทำให้ องค์ความรู้ทางคณิตศาสตร์เป็นการประดิษฐ์(Invented)ขึ้น


บทกลับ ศาสตร์ที่เอาองค์ความรู้ทางคณิตศาสตร์ไปประยุกต์ใช้กับโลกความเป็นจริง(Real World)ต่างหาก
ที่จะเป็นฝ่ายที่ต้องพิสูจน์ว่า องค์ความรู้ทางคณิตศาสตร์อันนี้ ใช้ได้กับโลกความเป็นจริง(Real World)
ตามหลักการของแต่ละศาสตร์นั้น

ยกตัวอย่างวิทยาศาสตร์ซึ่งเป็นPositivism (ต้องการหลักฐานเชิงประจักษ์)
วิทยาศาสตร์ยืมองค์ความรู้ทางคณิตศาสตร์มาใช้ในส่วนที่ เป็นเหตุผล(Rational)
มาอธิบายว่า โลกนี้น่าจะทำงานอย่างไร เช่น

นักวิทยาศาสตร์อาจจะมีการคาดการณ์(hypothesis)ว่า
เมื่อมีแรงโน้มถ่วงมากระทำกับวัตถุที่มีมวล วัตถุก็จะมีเคลื่อนที่เปลี่ยนแปลงไปตามแรงโน้มถ่วงที่มากระทำ
ซึ่งการคาดการณ์(hypothesis)นี้ อาจจะได้มาจากการสังเกต
หรือใช้ความเหตุผลทางคณิตศาสตร์มาหาความสัมพันธ์ของแรงต่างๆ
จากการคาดการณ์นี้ เราก็จะคำนวณได้ว่า จะมีแรงมากระทำเท่าไร แค่ไหน วัตถุจะไปตกตรงไหน

แต่แค่การคำนวณได้ ยังไม่สามารถนับได้ว่าเป็นองค์ความรู้ทางวิทยาศาสตร์
จะต้องมีหลักฐานเชิงประจักษ์ เช่น ต้องทำการทดลองให้วัตถุเคลื่อนที่ในสนามแรงโน้มถ่วง
แล้วดูว่า เป็นไปตามเหตุผล(ตามการคำนวณ)ที่เราคาดการณ์ไว้หรือไม่
เพื่อที่จะยืนยันว่า โลกนี้น่าจะมีการทำงานในแบบที่ให้เหตุผล(คำนวณ)มา

ซึ่งการหาองค์ความรู้แบบนี้ จะเป็นแบบค้นพบ(Discovery)
เพราะจะเป็นการแกะเกาดูว่าโลกนี้น่าจะทำงานอย่างไร(ซึ่งหมายความว่า เป็นสิ่งที่มีอยู่แล้ว)
และจะเห็นว่าในการนี้ ต้องพิสูจน์ด้วยว่า โลกนี้มันน่าจะทำงานอย่างนั้นจริงๆ