คำตอบที่ได้รับเลือกจากเจ้าของกระทู้
ความคิดเห็นที่ 1
กำหนดให้ n คือพจน์ลำดับที่ n ของอนุกรม
และ k คือจำนวนนับใดๆ
P(n) คือ Σ(2n-1)² ตั้งแต่ 1 ถึง n = (4n²-1)/3
P(1) คือ 1² = (4(1)²-1)/3 จะได้ว่า P(1) เป็นจริง
P(k) คือ Σ(2k-1)² ตั้งแต่ 1 ถึง k = (4k³-k)/3 ไม่ใช่ (4k²-1)/3 แสดงว่า P(k) เป็นเท็จ
P(k+1) คือ Σ(2(k+1)-1)² ตั้งแต่ 1 ถึง k+1 = (4(k+1)³-(k+1))/3 ไม่ใช่ (4(k+1)²-1)/3 แสดงว่า P(k+1) เป็นเท็จ
ดังนั้น สรุปได้ว่า 1²+3²+5²+...+(2n-1)² = (4n²-1)/3 เป็นเท็จ
ปล.
Σ(2k-1)² = Σ(4k²-4k+1)
= 4Σk² - 4Σk + Σ1
= 4(k(k+1)(2k+1)/6) - 4(k(k+1)/2) +k
= (2/3)(k²+k)(2k+1) -2k²-2k +k
= (2/3)(2k³+3k²+k) -2k²-k
= (4/3)k³+2k²+(2/3)k-2k²-k
= (4/3)k³+(2/3)k-k
= (4/3)k³-(1/3)k
= (4k³-k)/3
จะได้ Σ(2k-1)² = (4k³-k)/3
กำหนดให้ n คือพจน์ลำดับที่ n ของอนุกรมและ k คือจำนวนนับใดๆ
P(n) คือ Σ(2n-1)² ตั้งแต่ 1 ถึง n = (4n²-1)/3
P(1) คือ 1² = (4(1)²-1)/3 จะได้ว่า P(1) เป็นจริง
P(k) คือ Σ(2k-1)² ตั้งแต่ 1 ถึง k = (4k³-k)/3 ไม่ใช่ (4k²-1)/3 แสดงว่า P(k) เป็นเท็จ
P(k+1) คือ Σ(2(k+1)-1)² ตั้งแต่ 1 ถึง k+1 = (4(k+1)³-(k+1))/3 ไม่ใช่ (4(k+1)²-1)/3 แสดงว่า P(k+1) เป็นเท็จ
ดังนั้น สรุปได้ว่า 1²+3²+5²+...+(2n-1)² = (4n²-1)/3 เป็นเท็จ
ปล.
Σ(2k-1)² = Σ(4k²-4k+1)
= 4Σk² - 4Σk + Σ1
= 4(k(k+1)(2k+1)/6) - 4(k(k+1)/2) +k
= (2/3)(k²+k)(2k+1) -2k²-2k +k
= (2/3)(2k³+3k²+k) -2k²-k
= (4/3)k³+2k²+(2/3)k-2k²-k
= (4/3)k³+(2/3)k-k
= (4/3)k³-(1/3)k
= (4k³-k)/3
จะได้ Σ(2k-1)² = (4k³-k)/3
แสดงความคิดเห็น
สงสัยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ค่ะ