สำหรับคนที่เรียนคณิต หรือฟิสิกส์มาคงจะได้พบเจอกับการ Cross และการ Dot Product มาแล้ว

ผมเข้าใจว่าเรื่องบางเรื่องในคณิตศาสตร์ก็ไม่มีเหตุผล หรือมีแต่เค้าไม่เอามาอธิบายกันแน่?

บางสมการเป็นสมการพื้นฐานที่เกิดจากความคิดและความเข้าใจของมนุษย์ เช่นการศึกษาสภาพยืดหยุ่นของสปริงจนพบว่าในช่วงแรกแรง และระยะยืดหดของสปริงแปรผันตรงกันจนเกิดสมการ F = kX ขึ้น บางสมการก็เกิดจากการศึกษาความสัมพันธ์ของตัวแปรระหว่างสมการสองสมการขึ้นไป หรือเกิดจากการดิฟ และการอินทิเกรตอย่างสมการการเคลื่อนที่ภายใต้ความเร่งที่มีทั้งหมด 4 สมการ เป็นต้น

แต่กับการ Cross และการ Dot Product ดูเหมือนมันจะไม่มีเหตุผลอะไรมารองรับเลย

ผมได้อ่าน Text book ทั้งของไทย และต่างประเทศ รวมถึงเว็บไซต์มาแล้วพอสมควร ดูเหมือนจะไม่มีใครสามารถอธิบายที่มาและความเป็นไปของมันได้ เรียกว่าไม่พูดถึงเลยจะดีกว่า ส่วนใหญ่มาถึงก็อธิบายกันด้วยสมการเลย ที่มาของสมการไม่มีใครพูดถึง

ประเด็นคือทำไม Dot Product ได้ Scalar Cross Product ดันได้ Vector ที่สำคัญคือ Vector นั้นตั้งฉากกับสองเวกเตอร์ใด ๆ ที่ Cross กันอยู่ตามกฎมือขวาซะด้วย!!! อห. ไปกันใหญ่

เข้าใจว่าสมการของการ Dot Product คือ


สมการของการ Cross Product คือ


เมื่อ U และ V เป็น Vector ใด ๆ theta คือมุมระหว่าง U และ V แบบหางต่อหาง และ e คือ Unit Vector ที่นิยามให้ตั้งฉากกัน U และ V

สิ่งที่ผมสงสัยคือสมการเหล่านี้มีที่มาจากไหน สามารถอธิบายได้จากผลการทดลองอย่างสมการของสปริงรึเปล่า cos มาจากไหน sin มาจากไหน ทั้ง ๆ ที่ไม่มีการ Projection เกิดขึ้น

หรืออารมณ์เดียวกันกับเรื่องบางเรื่องในคณิตศาสตร์ที่ต้องท่องจำแบบไม่มีเหตุผล อย่างค่าของฟังก์ชั่นตรีโกณ หรือลอกาลิทึม (จริง ๆ มีแต่เค้าไม่เอามาพูดมากกว่า)

คือผมเชื่อเสมอว่าทุกอย่างเกิดขึ้นได้เพราะมีเหตุครับ ดังนั้นอะไรที่อยู่ ๆ ก็โผล่มาแบบไม่มีเหตุผลผมจะรู้สึกสงสัยมาก ๆ และบางทีก็จำไม่ได้ไปเลย



สุดท้ายนี้ก็ขอขอบคุณเพื่อน ๆ สมาชิกทุกท่านนะครับที่มาช่วยกันไขข้อข้องใจให้ผม