สมมุติให้ A = √3√3√3√3√...
เมื่อยกกำลัง 2 ทั้ง 2 ข้างก็จะได้
A² =3√3√3√3√3√...
หรือเท่ากับ
A² =3A
ย้ายข้างแก้สมการ ก็จะได้
A = 3, -1
ซึ่ง A = √3√3√3√3√... ต้องเป้นบวกเสมอ ดังนั้น A = 3


ข้ออื่นๆ ก็คล้ายๆ กัน
สมมุติให้ B = √3+√3+√3+...
เมื่อยกกำลัง 2 ทั้ง 2 ข้างก็จะได้
B² =3+√3+√3+√3+...
หรือเท่ากับ
B² =3+B
ย้ายข้าง ก็จะได้
B² - B - 3 = 0
แก้สมการ
B = (1+√13)/2 , (1-√13)/2
ซึ่ง B = √3+√3+√3+... ต้องเป้นบวกเสมอ ดังนั้น B = (1+√13)/2

สมมุติให้ C = √3+√3-√3+√3-√3+...
เมื่อยกกำลัง 2 ทั้ง 2 ข้างก็จะได้
C² =3+√3-√3+√3-√3+...
หรือเท่ากับ
C² - 3 = √3-√3+√3-√3+...
เมื่อยกกำลัง 2 ทั้ง 2 ข้างก็จะได้
C⁴ - 6C² + 9 = 3-√3+√3-√3+...
หรือเท่ากับ
C⁴ - 6C² + 9 = 3-C
ย้ายข้าง ก็จะได้
C⁴ - 6C² + C + 6 = 0
(C+1)(C-2)(C²+C-3) = 0
แก้สมการ
C = -1, 2, -(1+√13)/2 , -(1-√13)/2
ซึ่ง C = √3+√3-√3+√3-√3+... ต้องเป้นบวกเสมอ
ดังนั้น C = 2 หรือ -(1-√13)/2

(น่าจะตอบ -(1-√13)/2 แต่ไม่รู้เหตุผลแฮะ)
ถ้าคิดเลขผิด ช่วยบอกด้วยนะครับ