น่าจะรู้จักสมการอยู่ใช่มั้ยครับ
งั้น ผมขอถามคำถามง่ายๆ ก่อนว่า
ถ้า x + 1 = 0 แล้ว x เท่ากับเท่าไหร่เอ่ย ง่ายมากเลยใช่มั้ยล่ะครับ แน่นอนว่า x = -1
แต่ถ้าเราไม่เคยรู้จักจำนวนลบมาก่อนเลยล่ะ เอ้า เป็นไปได้หรอที่จะไม่รู้จักจำนวนลบ
คำตอบคือ เคยเป็นมาแล้วครับ ในสมัยก่อน 0 - 4 = 0 เป็นเรื่องปกติเลยล่ะครับ มนุษย์เพิ่งรู้จักจำนวนลบได้ไม่กี่ร้อยปีที่ผ่านมานี้เองครับ
ดังนั้น เมื่อมนุษย์เราก้าวผ่านจุดนั้นมาแล้ว สิ่งที่ต้องทำต่อไปคือ การก้าวไปข้างหน้า ดังนั้น คำถามต่อไปจึงท้าทาย
นั่นคือ คำถามนี้
x² + 1 = 0 แล้ว x = ?
จากที่เราเคยเรียนมาแล้วนะครับ ลบคูณลบได้บวกใช่มั้ยครับ
ถ้าเอาจำนวนลบมายกกำลังสอง เช่น (-2)² มันก็จะเท่ากับ (-2)(-2) = 4 นั่นแสดงว่า จำนวนจริงอะไรก็ตามถ้ายกกำลังสองแล้วมันไม่มีทางติดลบหรอกครับ
แต่ว่า x² + 1 = 0 นั้น ถ้าเราลองย้ายข้างดู จะได้ว่า x² = -1 หรือก็คือ (x)(x) = -1
อ้าว พอเอา x มายกกำลังสอง ทำไมติดลบล่ะ?
แสดงว่า x ไม่เป็นจำนวนจริงแล้วล่ะครับ
ดังนั้น เราจึงต้อง "สร้าง" นิยามของจำนวนเหล่านี้ขึ้นมาครับ จำนวนที่พอนำมายกกำลังสองแล้วได้ -1 นั้นคือ "จำนวนจินตภาพ" นั่นเอง
เราจะให้ตัวอักษร i ที่มาจากคำว่า imagination แทนจำนวน x นั้น นั่นเองครับ
เราจึงได้ว่า ที่ i² = -1 นั้น เป็นเพราะเรา "บอกให้มันเป็นแบบนั้น(นิยาม)" นั่นเองครับ
เพื่ออะไร เพื่อที่เราจะได้ก้าวข้ามโลกของจำนวนจริง ไปสู่โลกใหม่ที่ใหญ่กว่าเดิม และลึกลับกว่าเดิม นั่นคือ โลกของ จำนวนเชิงซ้อน(Complex Number) บางครั้งก็เรียกว่าจำนวนสองมิติ
ดังนั้น (i)(i) = -1 ที่เจ้าของกระทู้ถามมานั่นคือ นิยามของมันนั่นเองครับ
เมื่อรู้ดังนี้แล้ว

i³ = (i)(i)(i) = (-1)(i) = -i
i⁴ = (i)(i)(i)(i) = (-1)(-1) = 1

ก็จะสามารถตามมาเอง โดยไม่จำเป็นต้องใช้ความรู้เรื่องสแควร์รูทเลยล่ะครับ
(ปล. ที่ไม่ใช้ i x i แต่ใช้ (i)(i) เพื่อจะได้ไม่สับสนกับตัวแปร x ข้างบน)
________________________________________________________________________________

สรุป จากที่เราเดินทางผ่านอดีตมาครั้งแรก มนุษย์ไม่รู้จักจำนวนเต็มลบครับ เมื่อเราสามารถนิยามจำนวนเต็มลบจาก x + 1 = 0 ได้แล้ว โลกของจำนวนได้ขยายขึ้นมา จากที่มีแค่จำนวนเต็มบวกกับศูนย์ ก็เป็นสิ่งที่เรียกว่า จำนวนเต็ม(Integer)
เมื่อมนุษย์เริ่มรู้จักจำนวนตรรกยะ(Rational) และรู้จักจำนวนอตรรกยะ(Irrational) แล้ว ก็เริ่มรู้จักกับจำนวนจริง(Real Number) และจำนวนอดิศัย(Transcendental)
จากนั้น มนุษย์ก็ได้ก้าวข้ามโลกของจำนวนจริงไปอีกครั้ง ด้วยสมการ x² + 1 = 0 ทำให้เกิดจำนวนเชิงซ้อนขึ้น ซึ่งจำนวนเชิงซ้อนเนี่ยมีประโยชน์ในทางวิศวกรรมไฟฟ้าด้วยนะครับ
แน่นอนว่ามนุษย์ไม่หยุดอยู่แค่นี้ครับ ตอนนี้ Quarternions(จำนวนสี่มิติ) กับ Octonions(จำนวนแปดมิติ) ก็ได้ถูกพบและนิยามเป็นท่ี่เรียบร้อย

ส่วนเรื่อง ส่วนจริงส่วนจินตภาพ,สังยุค,รากที่ n ของจำนวนใดๆ จะมีรากเชิงซ้อน นั้น เป็นเรื่องที่สุดวิสัยจะอธิบายตรงนี้จริงๆ 555 เดี๋วจะกลายเป็น
เลคเชอร์ไปซะเปล่าๆ ให้ จขกท ลองไปศึกษาเองละกันนะครับ