จากหนังสือของ Joseph Rotman เรื่อง "A First Course in Algebra: with applications"  มีตัวอย่างที่น่าสนใจมากเกี่ยวกับเรื่องคำถามที่ว่าทำไมเราต้องพิสูจน์ของที่เห็นได้ชัดพวกนี้

พิจารณา function

f(n) = 991n²+1

สังเกตุว่าถ้าเราพยายามถอด square root ของ f(n) จะออกมาไม่เป็นจำนวนเต็มเสมอ สำหรับ n=1 2 3 ... 1,000,000   (ถ้าว่างพอจะลองไปเขียน program ทดสอบก็ได้ครับ แต่ผมไม่รู้ว่าคุณเขียนโปรแกรมตรวจสอบของแบบนี้เป็นมั้ยนะเพราะมันมีอะไรต้องระวังหลายอย่างเวลาถอด square root เลขใหญ่ๆพอ)

จะลองไปถึง n= 100,000,000 (ร้อยล้าน) หรือ n= 100,000,000,000,000,000 (หนึ่งแสนล้านล้าน) เลยก็ได้ ก็ยังไม่มีตัวไหนถอด square root ได้เป็นจำนวนเต็มอยู่ดี   หรือถ้าคุณมี super computer พร้อมหน่วยเก็บข้อมูลขนาดใหญ่ๆมากๆแล้วลองไปถึง n= 1,000,000,000,000,000,000,000,000,000 (หนึ่งพันล้านล้านล้านล้าน) เลย

.
.
.


เห็นได้ชัดใช่มั้ยละครับว่า f(n) ไม่มีทางเป็น perfect square (หารากที่สองลงตัว) ได้สำหรับทุกๆ n แน่นอน  แล้วจะเสียเวลาพิสูจน์ไปทำไม?   ปรากฎว่าเรื่องนี่พิสูจน์ไม่ได้ครับ เพราะว่ามันไม่จริง

ที่ n= 12,055,735,790,331,359,447,442,538,767 (ประมาณหนึ่งหมื่นสองพันล้านล้านล้านล้าน)

จะได้ว่า f(n) ถอด square root ได้ลงตัวเป็นจำนวนเต็ม



ขออนุญาติยกคำพูด Einstein มาหน่อยนะครับ แกพูดเกี่ยวกะเรื่องคล้ายๆกันไว้ได้ดีมาก เรื่องกระบวนการทางวิทยาศาสตร์(แปลมาจากภาษาเยอรมันอีกที)

"No amount of experimentation can ever prove me right, but it only takes one experiment to prove me wrong"

ถอดความเป็นไทยได้ว่า

"จะมีผลการทดลอง(ที่สนับสนุนทฤษฎีของผม)มากแค่ไหนก็พิสูจน์ไม่ได้ว่าผมถูก แต่การทดลอง(ที่ขัดแย้ง)เพียงครั้งเดียวก็เพียงพอแล้วที่จะแสดงว่าผมผิด"