จากกระทู้ อะไรจะเกิดขึ้นถ้าพับกระดาษเกิน 7 ทบ? เมื่อเช้านี้ก็พาลให้จขกท.คิดว่าคำกล่าวที่ใครๆก็เคยได้ยินอย่าง เราพับกระดาษได้ไม่เกิน 7 ทบ มันจะจริงหรือไม่

อย่ากระนั้นเลย ไหนๆก็อยู่ในห้องหว้ากอทั้งทีก็ลงมือคิดๆเขียนๆให้สมกับเป็นห้องนี้หน่อยก็แล้วกัน

---

ข้อสำคัญ กระดาษที่เราจะพับเป็นกระดาษในจินตนาการที่พับได้อย่างสมบูรณ์แบบ แข็งแรงทนทาน ยืดหยุ่นได้ดี จะพับแค่ไหนก็ได้ เรียบเนียนเสมอกัน และไม่มีช่องว่างอะไรอยู่ในระหว่างรอยพับเลย
เหตุผลที่เราไม่ใช้กระดาษจริงๆเนื่องจากกระดาษจริงๆเราพับอย่างนี้ไม่ได้และมีข้อจำกัดมากมายเช่น พับไปสักพักมันจะเริ่มแข็งจนพับต่อยากขึ้น มีรอยต่อระหว่างชั้นกระดาษที่พับ ความทนทานของกระดาษ ฯลฯ ข้อจำกัดต่างๆเหล่านี้และอีกมากทำให้การพับกระดาษจริงๆอาจไม่ได้ผลอย่างที่คำนวนก็ได้

งั้นเรามาเริ่มกันเลย
สมมุติให้กระดาษของเรามีความหนาเป็น x และความยาวเป็น y (เราไม่สนความกว้าง จะกว้างแค่ไหนก็ได้ เพราะเราจะพับครึ่งเรื่อยๆไปแค่ทางเดียว)

^{พยายามมีรูปประกอบให้กระทู้น่าสนใจ...}

เริ่มพับครึ่งแรก กระดาษของเราจะมีความหนาเป็น 2x และความยาวลดลงเป็น y/2

^{ใช้ความสามารถงูๆปลาๆตกแต่งรูปเล็กน้อย}

พับทบไปอีกครั้ง กระดาษของเราจะมีความหนาเป็น 4x และความยาวจะเหลือเพียง y/4

^{สัดส่วนเพี้ยนๆ คนจะหนีออกจากกระทู้ไหมเนี่ย -*-}

เริ่มเห็นอะไรแล้วรึยังครับ เมื่อรับพับไปเรื่อยๆความหนาของกระดาษจะเป็น 2 เท่าของความหนาก่อนหน้า และความยาวจะลดลงเหลือเพียง 1/2 ของความยาวเดิม
ดังนั้นก็ไม่ยากแล้วที่จะหาว่าเมื่อพับทบไป 7 ครั้งกระดาษของเราจะหนาแค่ไหนและความยาวเหลือเท่าไหร่

เนื่องจาก 2⁷=128 ดังนั้นหลังจากพับไป 7 ครั้งกระดาษของเราจะหนาเพิ่มขึ้นจากเดิม 128 เท่า! และความยาวจะลดลง 128 เท่าเช่นกัน!

โอเค เรารู้แล้วว่ากระดาษของเราจะหนาและยาวแค่ไหนแต่ก็ไม่ได้ตอบคำถามว่าเราจะพับกระดาษได้ 7 ทบหรือไม่

เนื่องจากหากเราจะพับกระดาษความยาวของกระดาษต้องมากกว่าความหนาของมัน ลองนึกภาพหากกระดาษที่เราจะพับหนา 20 เซ็นติเมตร แต่มันยาวเพียง 10 เซ็นติเมตร มันจะ"หัก"ก่อนที่เราจะพับครึ่งมันได้
ดังนั้นแล้วเราจะได้ว่า y/128 ≥ 128x
หรือเขียนได้ว่า y ≥ 16384x

นั้นคือหากเราต้องการพับกระดาษให้ได้ 7 ทบ ความยาวของกระดาษต้องยาวอย่างน้อย 16,384 เท่าของความหนา!

สมมุติให้กระดาษหนา 0.1 มิลลิเมตร หรือคิดเป็น 0.0001 เมตร
ดังนั้นกระดาษต้องยาวอย่างน้อย 1.6384 เมตร
ย้ำอีกครั้งว่าเรากำลังพับด้วยกระดาษในจินตนาการของเรา กระดาษจริงๆจะข้อจำกัดมากมายจนอาจต้องใช้ความยาวมากกว่านี้หรือ"แข็ง"จนเราพับมันไม่ได้เลยก็ได้

สรุป เราจะพับกระดาษ 7 ทบได้ แต่ ความยาวของกระดาษอย่างน้อยต้องเท่ากับ 16384 เท่าของความหนา

---

คำถามต่อไปคือ แล้วถ้าเราจะพับเป็นหลายๆทบที่ไม่ใช่แค่ 7 ทบล่ะ เราจะหาความหนาหรือความยาวของกระดาษนั้นได้ยังไง

คำถามนี้ง่ายมากๆ ใช้แนวคิดเดิมจากการที่เราพับกระดาษไป 7 ทบนั่นแหล่ะ
เนื่องจากหากเราพับกระดาษไป n ครั้ง กระดาษจะหนา 2ⁿx และความยาวเหลือเพียง y/2ⁿ
เนื่องจากเรารู้ว่า y/2ⁿ ≥ 2ⁿx
ดังนั้น  y ≥ 2²ⁿx
หรือก็คือความยาวของกระดาษนั้นๆอย่างน้อยต้องเท่ากับ 2²ⁿ เท่าของความหนา

เช่น หากเราต้องการพับกระดาษสัก 5 ทบ โดยให้ความหนาของกระดาษมีค่า 0.1 มิลลิเมตรเช่นเดิม ดังนั้นความยาวของกระดาษอย่างน้อยต้องยาว 2¹⁰(0.0001) = 0.1024 เมตร

---

ชักติดลม คำถามที่หัวกระทู้ก็ตอบไปแล้วแต่ขออะไรอีกนิดนึงแล้วกัน
ลองคิดต่อไปเล่นๆ หากเราต้องการพับกระดาษให้ถึงดวงจันทร์เราต้องพับกี่ทบ?

^{ระยะทางจากโลกถึงดวงจันทร์ก็ไกลขนาดนี้}

เนื่องจากระยะทางจากโลกถึงดวงจันทร์ประมาณ 384,399 กม. = 384,399,000 ม.
ความหนาของทบสุดท้ายคือ 2ⁿx = 384,399,000 ม.
หากเราให้ความหนาของกระดาษ(คือค่า x นั่นเอง) มีค่าเท่ากับ 0.1 มม.
ดังนั้นจะได้ว่า 2ⁿ = 384,399,000/0.0001 = 3,843,990,000,000
แก้สมการหาค่า n จะได้ว่า n = log₂ 3,843,990,000,000 = 41.8  ครั้ง
หรือก็คือหากเราพับกระดาษทบไปเรื่อยๆ 42 ครั้ง ความหนาของมันจะหนากว่าระยะทางจากโลกไปดวงจันทร์เสียอีก!

---

ตัดจบด้วยประการณ์ฉะนี้
ขอบคุณที่อ่านมาถึงจุดนี้ครับ