สืบเนื่องจากในกระทู้ http://ppantip.com/topic/32497967/comment9
จากการพิสูจน์ใน #คห.9 มีความผิดพลาดเกิดขึ้น จึงขอแสดงวิธีทำใหม่ ด้วยการแก้ไขเงื่อนไขบางประการ

จะพิสูจน์ว่า "ไม่มีจำนวนจริงที่มากที่สุดแต่น้อยกว่า7"
วิธีทำ กำหนดให้มี δ < 7 และพิจารณาบนเซต A = {x| δ ≤  x < 7 }
เราจะเลือกพิสูจน์โดยวิธีการขัดแย้ง (Proof by contradictions)
โดยจะกำหนดว่ามีจำนวนจริงใดๆ k ∈ A โดยที่ δ = min(A) และ k₀ = k = max(A)  
และกำหนดให้ k₁ = ( min(A) + max(A) )/2 = ( δ + k₀ )/2 = ( δ + k )/2
จากข้อมูลที่มี เราจะทำการสร้างลำดับ k_n
โดยกำหนดว่า k_n+1  = ( δ + k_n )/2 สำหรับทุกๆ n ที่ n ≥ 0 ---- (1)
และจะสมมุติว่าให้มีจำนวนเต็ม m > 0 และมี ε > 0 ซึ่ง k_m = δ + ε > min(A)
จากสมการที่ (1) จะได้ว่า k_m  = ( δ + k_m-1 )/2 --- (2)
และในทำนองเดียวกัน     k_m-1  = ( δ + k_m-2 )/2 --- (3)
(2) - (3) จะได้ว่า             k_m  - k_m-1 = ( δ + k_m-1 )/2 - ( δ + k_m-2 )/2 = ( k_m-1 - k_m-2 )/2 --- (4)
(2) - (1) จะได้ว่า             k_m - k_n+1=  ( k_m-1- k_n)/2 --- (5)

Basic Step พิจารณาในกรณีที่ n = 0 จากสมการที่ (5) เราจะได้ว่า
k_m - k₁ =  ( k_m-1 - k₀ )/2 --> 2k_m - 2k₁ =  k_m-1 - k₀ --> 2k_m - k_m-1 =  2k₁ - k₀ = ( δ + k₀ ) - k₀ = δ
แทนค่า k_m = δ + ε จะได้ว่า 2(δ + ε) - k_m-1 = δ --> k_m-1 = k และจากสมการที่ (4) ทำให้เราได้ว่า k_m-2 = δ + 4ε
เพราะฉะนั้นแล้ว k_m =  δ + ε , k_m-1 = δ + 2ε ,  k_{m - 2} = δ + 4ε --- (6)

Induction Step พิจารณาในกรณีที่ n = m-3 จากสมการที่ (5) เราจะได้ว่า
k_m - k_m-2 =  ( k_m-1 - k_m-3 )/2 --> 2k_m - 2k_m-2 =  k_m-1 - k_m-3 --> 2k_m - k_m-1 =  2k_m-2 - k_m-3
แทนค่าผลจากสมการที่ (6) จะได้ว่า 2(δ + ε) - (δ + 2ε) = 2(δ + 4ε) - k_m-3 --> k_m-3= δ + 8ε
เพราะฉะนั้นแล้ว k_m =  δ + ε , k_m-1 = δ + 2ε ,  k_m-2 = δ + 4ε , k_m-3 = δ + 8ε
และจากการสังเกต เมื่อเราทำการ Iteration ที่ n = m - q เมื่อ q = 0,1,2,...,m ไปหลายๆครั้ง
เราก็จะได้ว่า k_m =  δ + ε , k_m-1 = δ + 2ε ,  k_{m - 2} = δ + 4ε , k_{m - 3}= δ + 8ε , k_m-4=  δ + 16ε, ... , k_{m - q} = δ + (2^q)ε, ... ,
k₁ = δ + (2^(m-1))ε,  k₀ = δ + (2^m)ε  ซึ่งจะเห็นว่า k = k₀ = δ + (2^m)ε

Claim พิสูจน์ว่า จะมี k^' > k สำหรับทุกๆ k^' ∈ A
จะเห็นว่า มี ε > 0 เป็นค่าๆหนึ่งโดยกำหนดให้
k =  δ + (2^m)ε และ k^' = δ + (2^p)ε  --- (A)
เพราะฉะนั้นแล้ว เราต้องพิสูจน์ว่ามี ε > 0 อย่างน้อย 1 ตัว ที่ทำให้ k^' = δ + (2^p)ε ∈ A ได้
โดยที่ยังคงอยู่ภายใต้เงื่อนไขที่ k^' > δ และ k > δ เมื่อมีจำนวนเต็ม p > 0 , m > 0 และจำนวนจริงใดๆ δ < 7
ดังนั้น เมื่อเราเลือกให้สำหรับทุกๆ ε เป็นค่าใดๆที่อยู่บนช่วง (0,2^-(m+1)p]  (2^-(m+1)p = (1/2^(m+1)p) > 0 เสมอ)
แทนค่าทุกๆ ε ใน(A) ทำให้ได้ว่า δ + (2^-(p-m))(2^-mp) ≥  k > δ และ δ + 2^-mp ≥  k^'  > δ --- (B)

ดังนั้นเราจึงเลือกให้ p > m > 0
เพื่อให้ lim_{(m,p) --> (∞,∞)} ((2^-(p-m))(2^-mp)) = 0 และ lim_{(m,p) --> (∞,∞)} (2^-mp) = 0
และกำหนดให้ ε_p-m = [2^-(p-m), 0) และ ε_mp = [2^-mp, 0)
จากอสมการ (B) จะกำหนดว่า k =  δ + (ε_p-m)(ε_mp) และ k^' = δ + ε_mp
เราจะเห็นว่า ε_mp > (ε_p-m)(ε_mp)
ดังนั้นท้ายที่สุดแล้วจึงสรุปได้ว่า δ + ε_mp > δ + (ε_p-m)(ε_mp)
หรือมี k^' บางตัวซึ่ง k^' ∈ (k, δ + ε_mp] ที่ทำให้ k^' > k

จะเห็นว่า k ∈ A  เนื่องจากว่า เราสามารถสร้างเซตของลำดับ S = {k₀, k₁, k₂, ... , k_m} ให้ m > 0 มากเท่าใดก็ได้
เพื่อให้ δ  < k < 7 เพราะว่า S ⊂ A เสมอ
ในทำนองเดียวกัน เราสามารถให้ p > m > 0 มากเท่าใดก็ได้เพื่อให้ 7 > δ + ε_mp ≥  k^' = k_m-p > k > δ ทำให้ได้ว่า k^' ∈ A เสมอ ( ε_mp เลือกให้เล็กเท่าใดก็ได้ เพื่อให้สอดคล้องกับเงือนไข)

สรุปแล้วว่าในท้ายที่สุด สำหรับ p > m > 0 เมื่อ k =  δ + (2^m)ε และ k^' = δ + (2^p)ε
เราจะได้ว่าจะมี k^' > k เสมอ

เราจะพบว่า ยังมีจำนวนจริงใดๆที่ k^' > k จึงทำให้เราได้ว่า k ≠ max(A)
จากการพิสูจน์โดยวิธีการขัดแย้งทำให้เราได้ว่า "จะไม่มีจำนวนจริงที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 7