อื้อหือ... - -"

สังเกตว่าถ้า a และ b เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ซึ่งกันและกัน ถ้าบังเอิญว่าตัวนึงมีตัวประกอบเฉพาะ อีกตัวก็ต้องไม่มี
(เช่นว่า ถ้า 7 หาร a ลงตัว 7 ก็ต้องไม่หาร b ลงตัว) นอกจากนั้นสำหรับจำนวนเฉพาะ p ใดๆ
ความน่าจะเป็นที่จำนวนเต็มบวกจะมี p เป็นตัวประกอบก็คือ 1/p ทำให้ความน่าจะเป็นที่ทั้ง a,b มี p เป็นตัวประกอบคือ 1/p^2
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยจำนวนนึงไม่มี p เป็นตัวประกอบคือ 1-(1/p^2)

ทีนี้ถ้าดูจำนวนเฉพาะทุกตัวที่เป็นไปได้ สังเกตว่าเหตุการณ์ที่จำนวนเฉพาะหารลงตัวนั้นเป็นอิสระต่อกัน
(หารลงตัวด้วย p ความน่าจะเป็นคือ 1/p, หารลงตัวด้วย q ความน่าจะเป็นคือ 1/q และถ้าหารลงตัวด้วย p และ q
ความน่าจะเป็นก็คือ 1/pq ซึ่งตรงตามเงื่อนไขความอิสระซึ่งกันและกันของเหตุการณ์ เพราะ (1/p)(1/q)=1/pq )
ดังนั้นเราก็นำความน่าจะเป็นของแต่ละจำนวนเฉพาะมาคูณกันได้เลย ซึ่งจะได้เป็น



จากผลงานของ Euler ที่หลายๆ คนเรียกได้ว่าเป็น "กุญแจทอง" (Golden key) ซึ่งกล่าวไว้ว่า



โดยที่ด้านขวาคือ Riemann zeta function ทำให้ได้ว่าความน่าจะเป็นคือ



อันหลังมาจาก Basel problem ที่ถูกแก้โดย Euler คนเดิมนั่นแหละคับ