1 ในฝันร้ายของเด็ก ม.5 คือ วงกลมหนึ่งหน่วย
เพราะ จะต้องเอามันไปสอบ ซึ่งหลายคนก็เลือกที่จะจำทั้งรูปนี้เข้าไปในหัว และ พบว่ามันเป็นความยากแบบโหดหิน
แต่กระทู้นี้ จะทำให้วิธีของคุณไม่เหมือนเดิมอีกต่อไป เพราะผมจะสอนให้เข้าใจอย่างละเอียดสุดๆ 😉
❤️ Quarter
ดังที่เห็น วงกลมแบ่งออกเป็น 4 ส่วนเท่าๆกัน เราเรียก 4 ส่วนนี้ว่า ควอเตอร์ (Quarter) ซึ่งผมขอแทนว่า Q จะเป็น Q1 Q2 Q3 Q4
และก็ไม่ใช่ว่าจะตั้งเลขให้แต่ละควอเตอร์ได้อย่างตามใจชอบนะครับ
Q1 คือส่วน บนขวา จากนั้นก็วนทวนเข็มนาฬิกา ลองดูจากเลของศาก็ได้ Q ที่น้อยกว่าจะมีองศาที่น้อยกว่า
❤️ Degree
วงกลม 1 มี 360 องศา แบ่งออกเป็น 4 ควอเตอร์เท่าๆกัน ดังนั้นจะเป็นควอเตอร์ละ 90 องศา และ จุดเริ่มต้นของแต่ละควอเตอร์ก็ถือเป็นค่าฐาน
ดังนั้นจะมี 4 ฐาน คือ 0 90 180 และ 270 อันนี้จำแค่ 3 ค่านี้ 30 45 60 พอครับ มุมอื่นๆก็คือ ค่าฐาน + เลขพวกนี้
ถ้าดูดีๆ เลขพวกนี้ก็คือสูตรคูณแม่ 30 ดีๆนี่แหละครับ
❤️ Pi Value
อันนี้ค่อนข้างจะ ซับซ้อน หน่อย ถ้าไม่อยากจำ ก็ต้องคำนวนนิดหน่อย แต่ถ้าไม่ไหวคิดว่าจำดีกว่าจริงๆ ผมก็มีเคล็ดลับการจำให้อยู่ข้างล่างนะครับ
💙 แบบคำนวน
จำแค่ว่า pi = 180 องศา และ ค่า 15 (หรม. ของแต่ละองศา) พอครับ
ดูที่จุด 180 องศา จะเห็นว่ามันมีค่าคือ 1 pi เป๊ะ ส่วน 0 หรือ 360 ก็คือ 0 pi หรือ 2 pi เป๊ะ
ขออธิบายก่อนว่า มันเป็นวงกลมวน ฉะนั้นมันจะเป็นค่าที่เบิ้ลกันไปได้เรื่อยๆ เมื่อครบรอบ 2 pi
0 pi = 2 pi = 8 pi = 66 pi ก็ว่ากันไป จุดอื่นก็เช่นกัน 3/2 pi = 7/2 pi เหมือนเดิมครับ ต้องบวก 2 pi หรือก็คือ 4/2 pi ส่วนเท่ากันก็เอาเศษบวกกันได้เลย
11/6 pi = 23/6 pi (11/6 + 12/6)
กลับมาเข้าเรื่อง
ด้วยความที่ หรม. มันคือ 15 เราก็ต้องทำให้ 180 เป็น 15 ซึ่งคือการหาร 12 ได้ 15 องศา = 1/12 pi
จะทำมุมไหน ก็คูณไปให้ได้มุมนั้นครับ
😎 45 = 3 x 15 -> 3 x 1/12 pi = 1/4 pi
😎 90 = 6 x 15 -> 6 x 1/12 pi = 1/2 pi
😎 120 = 90 + ( 2 x 15 ) -> 1/2 pi + ( 2 x 1/12 pi) = 3/6 pi + 1/6 pi = 2/3 pi
หรือถ้าคิดเลขเก่ง คิดไปเลยก็ได้ว่า 120 = 8 x 15 -> 8 x 1/12 pi = 2/3 pi เท่ากัน
😎 180 = 12 x 15 -> 12 x 1/12 pi = pi
😎 210 ซับซ้อนขึ้นมาหน่อย เพราะ pi สุดที่ 180 แต่ก็ยังคิดแบบเดิมนะครับ แค่ว่า มันจะเป็นเศษส่วนเกิน ?/12 โดยที่ ? > 12
210 = 14 x 15 -> 14/12 pi = 1 1/6 pi = 7/6 pi
หรือ 210 = 180 + 30 -> pi + ( 2 x 1/12 pi ) = 6/6 pi + 1/6 pi = 7/6 pi
😎 315 = 21 x 15 -> 21/12 pi = 7/4 pi
หรือ 315 = 180 + 135 -> pi + ( 9 x 1/12 ) = 4/4 pi + 3/4 pi = 7/4 pi
💙 แบบจำ
เข้าใจก่อนว่าค่าองศา เราเขียนในรูป a/b pi เช่น 11/6 pi ก็คือ a = 11 และ b = 6 กับจำเลข 3 4 6 (ตัวประกอบของ 12) แค่นี้พอ
😎 ค่า b
เราแบ่งออกเป็น 2 กลุ่ม คือ กลุ่ม Q1 Q2 และ กลุ่ม Q3 Q4
ทั้ง 2 กลุ่มมีจุดเริ่มเหมือนกันคือจุดยอด หรือก็คือ 90 และ 180 องศา
ขึ้นไปดูรูปข้างบน จะเห็นว่า ทั้ง 2 จุดนี้มีค่า b เหมือนกันคือ 2 ตัวประกอบอีกค่าของ 12
เข้าใจไปก็ได้ว่านั่นคือจุดเริ่มต้น แล้วพอขยับออกมาจากตรงกลาง b ก็เพิ่มค่าขึ้นตามลำดับ เป็น /3 /4 /6
คำว่า "ขยับออกมาจากตรงกลาง" อาจจะงง จริงๆก็คือ ขยับลงมา กรณีจับส่วนคว่ำ หรือ ขยับขึ้นไป กรณีจับส่วนหงาย นั่นแหละ
😎 ค่า a
อันนี้แต่ละควอเตอร์มีระบบการคิดที่ต่างกันออกไป คือ
Q1 ค่า a = 1
Q2 ค่า a = b-1
Q3 ค่า a = b+1
Q4 ค่า a = 2b-1 หรือจะจำว่า a4 = a2+b ก็ได้ (a2 คือ ค่า a จาก Q2) แต่จับคู่ดีๆนะครับ ยิงไปฝั่งตรงข้ามอย่าพลาด
❤️ Coordinate
ดูเหมือนยาก เพราะฝั่งเศษไม่ใช่จำนวนนับอีกต่อไป แต่จริงๆแล้วก็ง่ายอยู่ดีครับ
ทำความเข้าใจแค่จาก Q1 ก็พอ
💙 Q1
โคออร์ดิเนต หรือค่าแกน X Y
มาทำความเข้าใจก่อนว่ามันอยู่ในรูป (c, d) โดยที่ c หมายถึงแกน X (แนวนอน) ส่วน d หมายถึงแกน Y (แนวตั้ง) และ ทั้งคู่มีค่าคือ sq(e)/2
sq = สแควร์รูท ส่วน e มีค่า 0 ถึง 4
คิดตามแนวแกน ยิ่งไกลจาก 0 เท่าไหร่ ค่า e ยิ่งมาก
0 องศา ec = 4 ed = 0 แล้วพอเปลี่ยนมุมก็เปลี่ยนค่า e ตามลำดับ
ยิ่งเข้าใกล้จุดยอดของแกน Y (90 และ 270) ค่า ec จะยิ่งลด และค่า ed จะยิ่งเพิ่ม (อธิบายเสริมความเข้าใจ)
😎 e = 4
sq(4)/2 = 1
😎 e = 0
sq(0)/2 = 0
0 / ? = 0 เพราะว่า ? x f = 0 ค่า f เป็น 0 เสมอ
😎 e = 1
sq(1)/2 = 1/2
😎 e = 3
sq(3)/2
💙 Q อื่น
ที่จริงมันก็ เหมือน Q1 เลยนะ แค่เพิ่มเครื่องหมายติดลบในบางที
ให้จินตนาการตามนี้ว่า Q1 มันเคลื่อนที่ได้ แต่ก็ขยับตามแนวแกน X หรือ Y เท่านั้นนะ ซึ่ง ขยับตามแกนไหน ค่านั้นก็จะติดลบ
ทวนอีกที ว่า มันอยู่ในรูป (c, d) โดยที่ c หมายถึงแกน X (แนวนอน) ส่วน d หมายถึงแกน Y (แนวตั้ง)
😎 Q2 คือ Q1 ที่ขยับไปทางซ้าย ก็คือ ไปตามแกน X
ดังนั้น c2 = -c1 ในขณะที่ d2 = d1
😎 Q4 คือ Q1 ที่ขยับไปทางล่าง ก็คือ ไปตามแกน Y
ดังนั้น d4 = -d1 ในขณะที่ c4 = c1
😎 Q3 จะมองว่าเป็น Q2 ที่ขยับไปตามแนวแกน Y หรือ Q4 ที่ขยับไปตามแนวแกน X ก็ได้เหมือนกัน
เพราะสุดท้ายแล้ว c3 = -c1 และ d3 = -d1
ไม่ว่าจะคิดแบบ
Q2 ที่ c3 = c2 = -c1 และ d3 = -d2 = -d1
หรือ
Q4 ที่ c3 = -c4 = -c1 และ d3 = d4 = -d1
สุดท้ายแล้วมันก็ไม่ต่างกัน
สอน วงกลมหนึ่งหน่วย อย่างละเอียด ไม่ยากเลย และ แทบไม่มีอะไรต้องจำเลย ใช้เพียงความเข้าใจ
เพราะ จะต้องเอามันไปสอบ ซึ่งหลายคนก็เลือกที่จะจำทั้งรูปนี้เข้าไปในหัว และ พบว่ามันเป็นความยากแบบโหดหิน
แต่กระทู้นี้ จะทำให้วิธีของคุณไม่เหมือนเดิมอีกต่อไป เพราะผมจะสอนให้เข้าใจอย่างละเอียดสุดๆ 😉
❤️ Quarter
ดังที่เห็น วงกลมแบ่งออกเป็น 4 ส่วนเท่าๆกัน เราเรียก 4 ส่วนนี้ว่า ควอเตอร์ (Quarter) ซึ่งผมขอแทนว่า Q จะเป็น Q1 Q2 Q3 Q4
และก็ไม่ใช่ว่าจะตั้งเลขให้แต่ละควอเตอร์ได้อย่างตามใจชอบนะครับ
Q1 คือส่วน บนขวา จากนั้นก็วนทวนเข็มนาฬิกา ลองดูจากเลของศาก็ได้ Q ที่น้อยกว่าจะมีองศาที่น้อยกว่า
❤️ Degree
วงกลม 1 มี 360 องศา แบ่งออกเป็น 4 ควอเตอร์เท่าๆกัน ดังนั้นจะเป็นควอเตอร์ละ 90 องศา และ จุดเริ่มต้นของแต่ละควอเตอร์ก็ถือเป็นค่าฐาน
ดังนั้นจะมี 4 ฐาน คือ 0 90 180 และ 270 อันนี้จำแค่ 3 ค่านี้ 30 45 60 พอครับ มุมอื่นๆก็คือ ค่าฐาน + เลขพวกนี้
ถ้าดูดีๆ เลขพวกนี้ก็คือสูตรคูณแม่ 30 ดีๆนี่แหละครับ
❤️ Pi Value
อันนี้ค่อนข้างจะ ซับซ้อน หน่อย ถ้าไม่อยากจำ ก็ต้องคำนวนนิดหน่อย แต่ถ้าไม่ไหวคิดว่าจำดีกว่าจริงๆ ผมก็มีเคล็ดลับการจำให้อยู่ข้างล่างนะครับ
💙 แบบคำนวน
จำแค่ว่า pi = 180 องศา และ ค่า 15 (หรม. ของแต่ละองศา) พอครับ
ดูที่จุด 180 องศา จะเห็นว่ามันมีค่าคือ 1 pi เป๊ะ ส่วน 0 หรือ 360 ก็คือ 0 pi หรือ 2 pi เป๊ะ
ขออธิบายก่อนว่า มันเป็นวงกลมวน ฉะนั้นมันจะเป็นค่าที่เบิ้ลกันไปได้เรื่อยๆ เมื่อครบรอบ 2 pi
0 pi = 2 pi = 8 pi = 66 pi ก็ว่ากันไป จุดอื่นก็เช่นกัน 3/2 pi = 7/2 pi เหมือนเดิมครับ ต้องบวก 2 pi หรือก็คือ 4/2 pi ส่วนเท่ากันก็เอาเศษบวกกันได้เลย
11/6 pi = 23/6 pi (11/6 + 12/6)
กลับมาเข้าเรื่อง
ด้วยความที่ หรม. มันคือ 15 เราก็ต้องทำให้ 180 เป็น 15 ซึ่งคือการหาร 12 ได้ 15 องศา = 1/12 pi
จะทำมุมไหน ก็คูณไปให้ได้มุมนั้นครับ
😎 45 = 3 x 15 -> 3 x 1/12 pi = 1/4 pi
😎 90 = 6 x 15 -> 6 x 1/12 pi = 1/2 pi
😎 120 = 90 + ( 2 x 15 ) -> 1/2 pi + ( 2 x 1/12 pi) = 3/6 pi + 1/6 pi = 2/3 pi
หรือถ้าคิดเลขเก่ง คิดไปเลยก็ได้ว่า 120 = 8 x 15 -> 8 x 1/12 pi = 2/3 pi เท่ากัน
😎 180 = 12 x 15 -> 12 x 1/12 pi = pi
😎 210 ซับซ้อนขึ้นมาหน่อย เพราะ pi สุดที่ 180 แต่ก็ยังคิดแบบเดิมนะครับ แค่ว่า มันจะเป็นเศษส่วนเกิน ?/12 โดยที่ ? > 12
210 = 14 x 15 -> 14/12 pi = 1 1/6 pi = 7/6 pi
หรือ 210 = 180 + 30 -> pi + ( 2 x 1/12 pi ) = 6/6 pi + 1/6 pi = 7/6 pi
😎 315 = 21 x 15 -> 21/12 pi = 7/4 pi
หรือ 315 = 180 + 135 -> pi + ( 9 x 1/12 ) = 4/4 pi + 3/4 pi = 7/4 pi
💙 แบบจำ
เข้าใจก่อนว่าค่าองศา เราเขียนในรูป a/b pi เช่น 11/6 pi ก็คือ a = 11 และ b = 6 กับจำเลข 3 4 6 (ตัวประกอบของ 12) แค่นี้พอ
😎 ค่า b
เราแบ่งออกเป็น 2 กลุ่ม คือ กลุ่ม Q1 Q2 และ กลุ่ม Q3 Q4
ทั้ง 2 กลุ่มมีจุดเริ่มเหมือนกันคือจุดยอด หรือก็คือ 90 และ 180 องศา
ขึ้นไปดูรูปข้างบน จะเห็นว่า ทั้ง 2 จุดนี้มีค่า b เหมือนกันคือ 2 ตัวประกอบอีกค่าของ 12
เข้าใจไปก็ได้ว่านั่นคือจุดเริ่มต้น แล้วพอขยับออกมาจากตรงกลาง b ก็เพิ่มค่าขึ้นตามลำดับ เป็น /3 /4 /6
คำว่า "ขยับออกมาจากตรงกลาง" อาจจะงง จริงๆก็คือ ขยับลงมา กรณีจับส่วนคว่ำ หรือ ขยับขึ้นไป กรณีจับส่วนหงาย นั่นแหละ
😎 ค่า a
อันนี้แต่ละควอเตอร์มีระบบการคิดที่ต่างกันออกไป คือ
Q1 ค่า a = 1
Q2 ค่า a = b-1
Q3 ค่า a = b+1
Q4 ค่า a = 2b-1 หรือจะจำว่า a4 = a2+b ก็ได้ (a2 คือ ค่า a จาก Q2) แต่จับคู่ดีๆนะครับ ยิงไปฝั่งตรงข้ามอย่าพลาด
❤️ Coordinate
ดูเหมือนยาก เพราะฝั่งเศษไม่ใช่จำนวนนับอีกต่อไป แต่จริงๆแล้วก็ง่ายอยู่ดีครับ
ทำความเข้าใจแค่จาก Q1 ก็พอ
💙 Q1
โคออร์ดิเนต หรือค่าแกน X Y
มาทำความเข้าใจก่อนว่ามันอยู่ในรูป (c, d) โดยที่ c หมายถึงแกน X (แนวนอน) ส่วน d หมายถึงแกน Y (แนวตั้ง) และ ทั้งคู่มีค่าคือ sq(e)/2
sq = สแควร์รูท ส่วน e มีค่า 0 ถึง 4
คิดตามแนวแกน ยิ่งไกลจาก 0 เท่าไหร่ ค่า e ยิ่งมาก
0 องศา ec = 4 ed = 0 แล้วพอเปลี่ยนมุมก็เปลี่ยนค่า e ตามลำดับ
ยิ่งเข้าใกล้จุดยอดของแกน Y (90 และ 270) ค่า ec จะยิ่งลด และค่า ed จะยิ่งเพิ่ม (อธิบายเสริมความเข้าใจ)
😎 e = 4
sq(4)/2 = 1
😎 e = 0
sq(0)/2 = 0
0 / ? = 0 เพราะว่า ? x f = 0 ค่า f เป็น 0 เสมอ
😎 e = 1
sq(1)/2 = 1/2
😎 e = 3
sq(3)/2
💙 Q อื่น
ที่จริงมันก็ เหมือน Q1 เลยนะ แค่เพิ่มเครื่องหมายติดลบในบางที
ให้จินตนาการตามนี้ว่า Q1 มันเคลื่อนที่ได้ แต่ก็ขยับตามแนวแกน X หรือ Y เท่านั้นนะ ซึ่ง ขยับตามแกนไหน ค่านั้นก็จะติดลบ
ทวนอีกที ว่า มันอยู่ในรูป (c, d) โดยที่ c หมายถึงแกน X (แนวนอน) ส่วน d หมายถึงแกน Y (แนวตั้ง)
😎 Q2 คือ Q1 ที่ขยับไปทางซ้าย ก็คือ ไปตามแกน X
ดังนั้น c2 = -c1 ในขณะที่ d2 = d1
😎 Q4 คือ Q1 ที่ขยับไปทางล่าง ก็คือ ไปตามแกน Y
ดังนั้น d4 = -d1 ในขณะที่ c4 = c1
😎 Q3 จะมองว่าเป็น Q2 ที่ขยับไปตามแนวแกน Y หรือ Q4 ที่ขยับไปตามแนวแกน X ก็ได้เหมือนกัน
เพราะสุดท้ายแล้ว c3 = -c1 และ d3 = -d1
ไม่ว่าจะคิดแบบ
Q2 ที่ c3 = c2 = -c1 และ d3 = -d2 = -d1
หรือ
Q4 ที่ c3 = -c4 = -c1 และ d3 = d4 = -d1
สุดท้ายแล้วมันก็ไม่ต่างกัน