กระทู้อ้างอิง:
http://ppantip.com/topic/31036348
http://ppantip.com/topic/31043054



ในช่วงนี้ผมเห็นรูปการบ้านข้อนี้เป็นประเด็นใหญ่มากในสังคม social network และผมเห็นหลายคนด่าครูได้อย่างสนุกปากมากครูมีปัญหา เด็กไม่มีปัญหา ได้เห็นความไม่รู้จริงของหลายคนว่ามันเหมือนกันเพียงเพราะว่าค่ามันเหมือนกันของคนไทยส่วนใหญ่ ผมก็เลยจะมานิยามและถกประเด็นเรื่องนี้กันในกระทู้นี้

เวลานิยามการคูณบนจำนวนเต็มมันนิยามได้หลักๆ 2 แบบคือการคูณทางซ้ายซึ่งนิยามดังนี้

นิยาม ให้ I เป็นเซ็ตของจำนวนเต็ม การคูณทางซ้าย (Left Multiplication) ของจำนวนเต็ม เป็นฟังก์ชั่น *: IxI-->I ซึ่งนิยามเป็น x*y := *(x,y) = y+y+...+y กัน x ครั้ง สำหรับทุกๆ (x,y) ใน IxI

และการคูณทางขวานิยามดังนี้

นิยาม ให้ I เป็นเซ็ตของจำนวนเต็ม การคูณทางขวา (Right Multiplication) ของจำนวนเต็ม เป็นฟังก์ชั่น *: IxI-->I ซึ่งนิยามเป็น x*y := *(x,y) = x+x+...+x กัน y ครั้ง สำหรับทุกๆ (x,y) ใน IxI

สังเกตได้ว่าสองนิยามนี้ความหมายต่างกันโดยสิ้นเชิง เพราะโดยนิยามหน้าคือการจับตัวหลังเป็นตัวหลักแล้วบวกกันตามตัวหน้า แต่นิยามหลังกลับกัน แต่มันมีบทตั้งที่หลายคนคงคุ้นกว่าดังนี้

บทตั้ง สำหรับทุกๆ x,y ใน I แล้ว x*y = y*x

ความจริงบทตั้งอันนี้มันไม่สามารถใช้ได้เลย ต้องผ่านการพิสูจน์ด้วยซ้ำ แต่สิ่งที่คนไทยเข้าใจก็คือเอาตรงนี้ไปใช้เลย ซึ่งถ้าเรามองการคูณตั้งแต่ตรงนี้มันผิด เพราะถึงค่ามันจะได้เท่ากัน และการสลับที่มาจากบทตั้งตัวนี้ แต่ความหมายมันต่างกันมาก นี่ขนาดเราพูดถึงแค่ของง่ายที่สุดอย่างจำนวนเต็มนะครับ ในหลายๆปริภูมิกับนิยามการคูณหลายๆตัว การคูณมันนิยามมาแล้วสลับที่ไม่ได้นะครับ เช่นการคูณของเมทริกซ์เนี่ยถ้านิยามแบบการคูณปกติมันก็สลับที่ไม่ได้ แต่ Hadamard Product มันได้เพราะนิยามว่ามันคือการคูณโดยสร้างจากการเอาสมาชิกแต่ละตัวในเมทริกซ์คูณกันดื้อๆเลยครับ (Hadamard Product นิยามบนเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน) ยิ่งเล่นกับ structure บางตัวอย่าง noncommutative ring หรือ module ทั่วไปมันก็ไม่ได้แล้วครับ

การที่เด็กจะผิดเพราะนิยามผมเห็นว่าสมควรจริงๆ เพราะถ้าเด็กไม่แม่นนิยามจริง อนาคตจะทำงานสายวิทยาศาสตร์ขั้นสูงได้ยากมากครับ เพราะสิ่งที่การเรียนสูงๆต้องการคือระบบตรรกะที่แข็งแรง ไม่หลุดสรุปอะไรออกมาเป็น lame logic เอา ส่วนครูผิดแน่นอนครับ เพราะการตรวจมันไม่ consistent อย่างที่หลายๆคนเห็นอยู่ เคสนี้ผมเลยมองว่าพอๆกันทั้งครูทั้งนักเรียน

ทั้งนี้พวกคนที่ออกมาด่าเองผมเข้าใจว่าไม่เคยแตะเปเปอร์วิจัยหรือหนังสือวิทยาศาสตร์ระดับเกินป.ตรีแบบเป็นเรื่องเป็นราวขนาดนั้น ถึงนึกภาพไม่ออกว่านิยามสำคัญยังไงแค่ใช้ได้ก็พอ ซึ่งมันพอกับแค่การใช้งานธรรมดา แต่คุณจะเข้าใจมั่งไหมครับว่าถ้าทฤษฎีไม่แม่น เราก็วิเคราะห์สิ่งที่เราใช้ไม่ได้ แล้วจะพัฒนาต่อยอดองค์ความรู้ที่มีอยู่ยังไงผมยังนึกภาพไม่ออกเลย

ป.ล. ส่วนพวกเพียวแมทที่มาบอกว่าจำนวนเต็มกับการคูณเป็นอาบีเลียนกรุปเนี่ย ถ้าผมเข้าใจไม่ผิด ตัวที่เป็นอาบีเลียนกรุปคือจำนวนเต็มกับการบวกครับ ในจำนวนเต็มมันจะมีอินเวอร์สการคูณได้ไงครับ มันมีแต่ว่าจำนวนจริงกับการบวกการคูณนิยามปกติเป็นฟีลด์ นั่นคือจำนวนจริงกับการบวกเป็นอาบีเลียนกรุป และจำนวนจริงไม่เอาศูนย์เป็นอาบีเลียนกรุปครับ แนะนำให้ไปลง abstract algebra ใหม่นะครับ และนิยามจำนวนนับจริงๆไปหาอ่านในวิชาพวก set theory หรือ number system มั่งนะครับ จะได้รู้จักแบบลึกๆหน่อย ไม่ใช่ออกมาช่วยชาวบ้านมั่วไถแบบนี้ ผมเสียดายโอกาสที่พวกคุณได้เริ่มเรียนเพียวแมทตั้งแต่ป.ตรี คุณไม่ควรจะรู้น้อยกว่าคนอย่างผมที่อ่านเองและเพิ่งเข้ามาเรียนเพียวแมทตอนเรียนโทเลย


ป.ล.2 อันนี้แรงหน่อยใครไม่อยากอ่านก็ไม่ต้องอ่านนะครับ เตือนแล้ว (ส่วนนี้อารมณ์เน้นๆ ถ้าอยากดราม่าจะอ่านก็ไม่ห้ามครับ)
[Spoil] คลิกเพื่อดูข้อความที่ซ่อนไว้ผมยอมรับว่าโมโหมากที่เห็นคนไม่รู้จริงเรื่องคณิตศาสตร์แล้วออกมาพูดพล่ามทำเพลงอะไรเพ้อเจ้อบ้าบอมากว่ามันเหมือนกัน ถึงว่าถ้ากะไอ้แค่นิยามที่เป็นพื้นฐานสำคัญรองมาจากสัจพจน์นิดเดียวยังไม่ให้ความสำคัญ ประเทศไทยก็สมควรดักดานเป็นแค่ end user ในทางเทคโนโลยีต่อไป เพราะพื้นฐานระบบคิดทางวิทยาศาสตร์มัน lame แต่แรก คนไม่รู้เรื่องก็เห็นแค่ว่ามันเหมือนกันแถมด่าเอามันส์เหลือเกิน เคยรู้ตัวมั่งไหมครับว่ารู้น้อยเท่าหางอึ่งแล้วพูดมากมันดูแย่น่ะ หดหู่กับอนาคตเมืองไทยในด้านวิทยาศาสตร์กับเทคโนโลยีเอาก็เพราะเห็นพวกคนห่วยพวกนี้แหละครับ


เพิ่มเติม: แก้จุดผิดในนิยาม right multiplication

เพิ่มเติม2: เห็นหลายคนอาจงงว่าประเด็นของกระทู้คืออะไรผมเลยขอลิสต์ให้ดูง่ายๆนะครับ
- ผมคิดว่าเด็กผิดเพราะเท่าที่ดูคือเด็กทำมาแบบ right multiplication หมด อาจารย์ให้ผิดเกือบหมด แสดงว่าตอนในห้องอาจารย์อาจให้นิยาม left multiplication มา ซึ่งการมองการคูณสองแบบให้ค่าเท่ากันแต่ความหมายเหมือนกัน ตัวเชื่อมที่เด็กควรจะมีนิดนึงก็คือคุณสมบัติการสลับที่การคูณบนจำนวนเต็ม เพราะถ้าปล่อยให้เด็กเสียนิสัยไม่อ้างตรงนี้แล้วติดไปเรียนสูงๆในอนาคต เด็กจะมีปัญหาเวลาเจอ object ทางคณิตศาสตร์ใหม่ๆที่มันไม่ได้มีคุณสมบัติสวยงามเหมือนจำนวนเต็มอีกแล้ว บางทีเด็กอาจเผลอลืมไปว่ามันสลับกันได้ทุกกรณี แต่ครูเองก็มึนในระดับที่ยังไงก็คงไม่พ้นคำด่าอยู่ เพราะทีข้อ 4 อาจารย์ดันให้เด็กถูกทั้งที่ข้อที่เหลือผิดหมดและทำแบบเดียวกัน จุดนี้ผมเองก็ไม่ได้ดีเฟนส์ครูแต่อย่างใด
- ส่วนที่ผมอัดอั้นตันใจคือพวกที่ออกมาด่าครูด้วยประเด็นว่ามันสลับที่กันได้ชัดครูผิดหมดคนเดียว เด็กถูก ทั้งที่ความจริงมันต้องอ้างการสลับที่ของการคูณว่าบนอะไร เช่น บนจำนวนเต็ม, บนจำนวนจริง, บนจำนวนเชิงซ้อน ฯลฯ นิสัยเสียแบบดู result อย่างเดียวทำลายระบบคิดแบบตรรกะที่จำเป็นมากกับการพัฒนาวิทยาศาสตร์ ถ้าเด็กไทยตรรกะไม่ดี อนาคตเราจะหวังให้มีองค์ความรู้อะไรเอาไปทำนวัตกรรม ประเทศที่เค้าพัฒนามากๆวิทยาศาสตร์เค้าต้องแข็งมาก แล้วสุดท้ายเราผลิตนวัตกรรมเองไม่ได้เราก็ต้องซื้อเค้าอย่างเดียวหรือไงครับ ผมเลยด่าพวกที่ออกมาว่าครูอย่างเดียวโดยไม่ดูตาม้าตาเรือว่าตามน้ำเหมือนกัน
- ถ้าให้ผมลงไปสอนคงไม่ได้กะจะสอนนิยามแบบนี้ให้เด็กป.3เรียน แต่ผมจะแปลงนิยามให้เป็นภาษาที่ง่ายขึ้น เช่น 3*2 = สองบวกกันสามตัว หรือสามบวกกันสองตัวแล้วแต่ว่าจะเอานิยามยังไง แต่ผมจะสอนเด็กว่าเอาจริงๆค่ามันเท่ากัน แต่ความหมายมันไม่เหมือนกันยังไงก็ว่าไป และสอนว่าการคูณสลับที่ได้สำหรับอันนี้เท่านั้น (ผมอาจสอนว่าจำนวนนับคืออะไรแบบง่ายๆก่อน) เพราะงั้นเวลาบอก 3*2 = 2*3 ต้องอ้างว่ามันสลับที่บนจำนวนเต็มก่อน แบบนี้น่าจะง่ายกว่าเยอะ สอนให้ง่ายมันทำได้ แต่ต้องให้ถูกต้องตามนิยามด้วย
- ใครคิดว่าผมจะเอาของในกระทู้นี้ไปสอนเด็กแบบเวอร์ชั่นตามนี้ผมคงขำครับ
- ส่วนที่ผมยกนิยามมาตั้งเยอะ ของยากๆมาตั้งแยะเพราะต้องการแย้งไงครับ ไอ้ที่พวกคุณบอกสลับได้ๆมันมีกรณียกเว้นเยอะมาก และที่มีนิยามกับบทตั้งเพราะต้องการแสดงว่าโดยนิยามความหมายมันไม่เหมือนกัน แต่แค่มันเท่ากันด้วยบทตั้ง ซึ่งการใช้มันต้องพิสูจน์ก่อน หรืออย่างน้อยก็อ้างก่อนใช้ก็ยังดี
- สปอยล์ผมไม่ขอแก้หรือลบอะไรทั้งนั้น พวกคนที่เอะอะก็อ้างแต่ผลลัพธ์ไม่ดูความหมายเชิงนิยาม ผมจะถือว่าสมควรถูกด่า

เพิ่มเติม3:
- ผมเพิ่งสังเกตว่ามีบางกระทู้ที่ผมตอบไปว่าเด็กทำไม่ consistent ผมขอรับผิด ณ ตรงนี้อีกที่ว่ารอบแรกที่ผมอ่านไม่ระวังเอง ความจริงเป็นไปตามเพิ่มเติม 2 ครับ ไม่ขอแก้ตัวใดๆทั้งสิ้นครับ แต่ที่เหลือถูกแล้วครับ ผมลองอ่านใหม่อีกสองสามรอบเพิ่มเติมแล้ว